II. Применение определенного интеграла при решении физических и технических задач

Практическая работа «Приложение определенных интегралов»

Определенный интеграл широко используется при вычислениях различных геометрических и физических величин: вычисление площади плоских фигур, вычисление объемов тел вращения, вычисление длины дуги, вычисление пути, пройденного телом, вычисление работы силы.

I. Вычисление площадей плоских фигур.

 

Фигура, ограниченная кривой y = f(x), осью 0х, прямыми х = а, х = в называется криволинейной трапецией.

 

	Расположение графиков функций на координатной плоскости		Формула для вычисления площади
1)		Криволинейная трапеция ограничена осью Ох и лежит над ней.
2)		Криволинейная трапеция ограничена осью Ох и лежит под ней.
3)		Фигура ограничена двумя кривыми  и
4)		Фигура не ограничена осью Ох

№1.  Используя данные из таблицы, для каждого рисунка напишите формулу, по которой вычисляется площадь заштрихованной фигуры.

 

1)  2)     3)       4)

 

Алгоритм нахождения площади фигуры:

1. Построить на одной координатной плоскости графики данных функций.

2. Заштриховать фигуру, ограниченную построенными линиями.

3. Найти точки, ограничивающие фигуру справа и слева.

4. Найти площадь фигуры по соответствующей формуле.

 

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:  и

Решение:  Построим графики данных функций

 - прямая                          

	1	0	-1
	1	0	-1

                                                                                                                                                                 

 - парабола, ветви вверх

	0	1	-1	2	-2
	-2	-1	-1	2	2

 

№2. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:  и

II. Применение определенного интеграла при решении физических и технических задач.

1. Задача о вычислении пути.  

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скорость v = v(t). Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = T₁ до t = T₂.

В простейшем случае, если мгновенная скорость постоянна, то путь, пройденный телом равен (по определению, известном из курса физики) произведению скорости на время движения:             . В общем случае, когда мгновенная скорость не постоянна, её вычисляют по формуле:          

Пример 2: Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 сек.

Решение: по формуле получим

Пример 3: Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = at + v₀ . Какой путь пройдет точка за промежуток времени от t = T₁ до t = T₂ ?

Решение:   По формуле получим

Пример 4: Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти длину пути от начала движения до его остановки.

Решение: Скорость тела в момент начала его движения и остановки равна 0. Найдем момент остановки тела. Приравняв для этого его скорость к нулю и решив уравнение, получим:      .

Далее, по формуле имеем: