К выполнению лабораторной работы

Система управления (рис. 1) имеет следующую модель:

; (a)

. (b)

1. Анализ устойчивости, управляемости и наблюдаемости объекта управления. Анализ устойчивости объекта управления выполнить с помощью критерия Ляпунова. Для этого необходимо определить передаточную функцию объекта управления по заданным дифференциальным уравнениям (2) и (3), составить характеристическое уравнение и определить корни этого уравнения.

Анализ управляемости и наблюдаемости объекта управления выполнить с помощью критериев Калмана. Для этого необходимо составить модель объекта управления в пространстве состояний.

2. Определение модели системы управления в пространстве состояний. Из рисунка 2 видно, что регулятор имеет следующую модель в пространстве состояний:

; (6)

, (7)

где невязка (величина сигнала рассогласования) определяется по формуле:

; (8)

- вспомогательная переменная состояния регулятора.

Из формул (2)-(8) следует, что система, образованная регулятором, объектом управления и измерительным устройством, имеет следующую математическую модель в пространстве состояний:

;

Эту систему уравнений запишем в матричном виде:

; (I)

, (II)

где:

; ; ; ; ;

Таким образом, получена модель САУ в пространстве состояний в виде системы уравнений (I), (II) и (8).

3. Определение параметров ПИ-регулятора. Параметры ПИ-регулятора будут определены минимизацией квадратичного функционала МНК

по параметрам ПИ-регулятора с учетом ограничений, заданных уравнениями (I), (II), (III) и (8).

Минимизация этого функционала с ограничениями (I), (II) и (8) с помощью принципа максимума приводит к следующим уравнениям рекуррентного МНК:

; ; (9)

; , (10)

где:

; .

Дифференциальному уравнению (I) соответствует разностное уравнение:

. (11)

Правые части уравнений (10) и (11) должны быть равными. Это выполняется, если

Из последнего равенства получим алгоритм перенастройки параметров ПИ-регулятора в моменты времени :

. (12)

Результаты вычислений приведены на графиках изменения оценок параметров ПИ-регулятора:

Рис.4. График изменения оценок параметра Kn

Рис.5. График изменения оценок параметра Ku

Из графиков видно, что получены состоятельные оценки параметров ПИ-регулятора. Окончательные значения оценок таковы: ; .

4. Анализ системы управления по прямым показателям качества управления. Составим дискретную модель системы управления. Системе дифференциальных уравнений (b), (c), (d) соответствуют разностные уравнения:

; (4.1)

; (4.2)

; (4.3)

; k =1, 2, …, N. (4.4)

В цикле по переменной решить на ЭВМ систему уравнений (4.1)-(4.4), (5) с помощью математического пакета Mathcad.

Построить графики переходных процессов для управляемой переменной , требуемого закона изменения управляемой переменной , относительной погрешности управления % и управляющего воздействия .