Математических моделей методом наименьших квадратов (МНК)

Рассматривается задача идентификации параметров , …, нестационарного процесса, состояние которого описывают математической моделью (1)-(4).

Требуется методом наименьших квадратов (МНК) определить оценку вектора параметров , используя результаты наблюдений и в момент времени .

В методе наименьших квадратов оценки , …, параметров , …, модели (2) изучаемого процесса определяют минимизацией скалярной функции

(8)

по параметрам , …, , где используются матрица и вектор , которые формируют следующим образом:

;

(9)

Надстрочный индекс «» в формуле (8) определяет операцию транспонирования матрицы (вектора).

Одношаговый (традиционный) алгоритм МНК

Из необходимого условия минимума скалярной функции , заданной формулой (8), по векторной переменной

(10)

получим следующий алгоритм вычисления оценки вектора параметров :

(11)

Уравнения (9), (11) определяет традиционный (одношаговый) алгоритм МНК идентификации параметров модели процесса (1)-(4). Аналогичный алгоритм оценивания параметров можно получить и в случае применения В-сплайнов 3-го порядка (5)-(7).

Из формулы (11) следует, что оценку вектора параметров можно только в том случае, когда матрица Гессе не вырождена. Если матрица плохо обусловлена, то алгоритм (9), (11) имеет большую погрешность оценивания параметров модели процесса.

Из формул (9), (11) видно, что при определении оценки на следующем шаге вычислений найденная ранее оценка в этом алгоритме не используется. Кроме того, необходимо использовать матрицу и вектор , которые имеют большее число элементов. Это приводит к увеличению времени вычислений на каждом шаге оценивания параметров с увеличением времени наблюдения переменной .

ПРИМЕР

Алгоритм МНК использован в задаче синтеза математической модели нестационарного процесса, график изменения во времени переменной состояния которого приведен на рис. 4.

Рис. 4.

Переменная состояния этого процесса измеряют с погрешностью , которую в рассматриваемой имитационной задаче формируют по алгоритму:

Математическую модель процесса описывают путем аппроксимации неизвестного закона изменения переменной состояния В-сплайнами 1-го порядка (2)-(4) и 3-го порядка (5)-(7) с числом участков непрерывности сплайнов .

Результаты идентификации математической модели процесса с помощью МНК приведены на рисунке 5, где - оценка переменной с помощью В‑сплайнов 1-го порядка, а - оценка переменной с помощью В‑сплайнов 3-го порядка.