с нормальным законом распределения.
Случайная величина имеет нормальный закон распределения вероятностей, если
, ,
где , . Следовательно, нормальный закон определяется параметрами и и называется общим.
Тогда функция распределения нормально распределенной величины
F (x) = .
Если и , то нормальный закон называют нормированным. В этом случае
, ,
т.е. является функцией Гаусса,
.
Графики f (x), F (x) для общего нормального закона в зависимости от параметров а и s изображены на рисунках 3 и 4.
Рис. 3 Рис. 4
Для моделирования случайной величины с нормальным законом распределения непосредственно воспользоваться методом обратной функции нельзя, т.к. невозможно аналитически выполнить преобразования вида . Поэтому для моделирования следует использовать метод свёрток.
Метод свёрток базируется на центральной граничной теореме – одном из наиболее выдающихся результатов теории вероятностей (при широких допущениях относительно распределений суммы большого количества взаимно независимых малых случайных величин имеет место распределение, которое является близким к нормальному распределению). Метод свёрток предусматривает изображение случайной величины в виде суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией.
Центральная граничная теорема формулируется так.
Если – последовательность независимых случайных величин с конечным математическим ожиданием , , и дисперсией , , то в случае неограниченного увеличения значения функция распределения случайной величины
Приближается к функции распределения стандартного нормального закона Ф (і) при всех значениях аргумента, т.е.
где
, .
– функция Лапласа.
Простейший метод получения значения случайной величины, имеющей заданное нормальное распределение, предусматривает выполнение таких шагов.
Сначала формируют последовательность , независимых, равномерно распределенных на величин и вычисляют сумму . Величина является хорошим приближением к нормальному распределению случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратическим отклонением . Такое распределение называется стандартным. Перейти от случайной величины с и к случайной величине , которая имеет математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , даёт возможность линейное превращение: .