Моделирование непрерывной случайной величины

с нормальным законом распределения.

Случайная величина  имеет нормальный закон распределения вероятностей, если

, ,

где , . Следовательно, нормальный закон определяется параметрами  и  и называется общим.

Тогда функция распределения нормально распределенной величины

F (x) = .

Если  и , то нормальный закон называют нормированным. В этом случае

 , ,

т.е.   является функцией Гаусса,

.

Графики f (x), F (x) для общего нормального закона в зависимости от параметров а и s изображены на рисунках 3 и 4.

Рис. 3                                                                                   Рис. 4

Для моделирования случайной величины с нормальным законом распределения непосредственно воспользоваться методом обратной функции нельзя, т.к. невозможно аналитически выполнить преобразования вида . Поэтому для моделирования следует использовать метод свёрток.

Метод свёрток базируется на центральной граничной теореме – одном из наиболее выдающихся результатов теории вероятностей (при широких допущениях относительно распределений суммы большого количества взаимно независимых малых случайных величин имеет место распределение, которое является близким к нормальному распределению). Метод свёрток предусматривает изображение случайной величины в виде суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией.

Центральная граничная теорема формулируется так.

Если  – последовательность независимых случайных величин с конечным математическим ожиданием , , и дисперсией , , то в случае неограниченного увеличения значения  функция распределения случайной величины

Приближается к функции распределения стандартного нормального закона Ф (і) при всех значениях аргумента, т.е.

где

, .

 – функция Лапласа.

Простейший метод получения значения случайной величины, имеющей заданное нормальное распределение, предусматривает выполнение таких шагов.

Сначала формируют последовательность ,  независимых, равномерно распределенных на  величин и вычисляют сумму . Величина  является хорошим приближением к нормальному распределению случайной величины с нулевым математическим ожиданием  и единичным средним квадратическим отклонением . Такое распределение называется стандартным. Перейти от случайной величины  с  и  к случайной величине , которая имеет математическое ожидание  и среднее квадратическое отклонение , даёт возможность линейное превращение: .