С гамма - распределением

Случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами α (параметр формы распределения) и β (масштабный коэффициент), если его плотность описывается выражением:

, .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X с гамма - распределением определяются по формулам: ;

Свойство гамма -распределения: Сумма любого количества независимых гамма-распределенных случайных величин m с одинаковым значением параметра β также подчиняется гамма-распределению, но с параметрами (α₁ + а₂ +... + а_т) и β.

Методы моделирования случайной величины с гамма - распределением

α	β	Распределения
1	1	экспоненциальное распределение
целое	-	распределение Эрланга
0,5	-	распределение ξ²

От случайной величины , которая имеет гамма - распределение с любым значением параметра α и значением β=1, достаточно легко можно перейти к случайной величине X’ с параметрами α и β > 1. Для этого используется преобразование вида

Основная проблема, которая возникает при моделировании гамма - распределения, - это вычисление гамма - функции.

Чтобы получить значения гамма - функции можно воспользоваться следующей формулой:

i	a_i	i	a_i	i	a_i
1	-0,422784335092	5	-0,017645242118	9	0,000145624324
2	-0,233093736365	6	0,008023278113	10	-0,000017527917
3	0,191091101162	7	-0,000804341335	11	-0,000002625721
4	0,024552490887	8	-0,000360851496	12	0,000001328554
				13	-0,00000018122

Вычисление гамма - функции для разных значений ещё усложняется тем, что она зависит от трёх аргументов (x,α,β). Поэтому при моделировании на практике в формуле функции плотности используется неполная гамма-функция

для вычисления которой при условии, что α < 1 можно воспользоваться таким выражением:

Для α > 1 интеграл можно легко вычислить с помощью любых формул численного интегрирования.

Полученная функция плотности гамма - распределения используется для преобразования случайных независимых равномерно распределенных величин. Для этого область возможных значений случайной величины X разбивается на n одинаковых интервалов, количество которых зависит от заданной точности аппроксимации функции f(х). Потом с помощью значения , (методом розыгрыша по жребию) выбирается один из n интервалов, в котором получают случайные числа с функцией плотности распределения f(х).

Для оценивания близкости функции плотности распределения вероятностей полученных значений случайной величины к функции плотности распределения используют метод наименьших квадратов.