2020-05-11
2992
Задача №3.
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Решение: Сумма кредита (S) – 331000 рублей
Ставка (r) -10%, b=1,1
Аннуитетные платежи.
| Месяц | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 месяц | Sb | х | Sb-x |
| 2 месяц | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 месяц | b(Sb2-xb-x)=Sb3_ хb2-xb | х | - |
Sb3_ хb2-xb=x
|
|
|
Sb3-(b2+b+1)x=0
3х=399300
Дифференцированные платежи.
| Месяц | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 | Sb | Sb 
| 
|
| 2 | 
| 
| 
|
| 3 | 
|
| 0 |
Sb(1+ 
)-S 
)=2Sb-S
2*331000*1,1- 331000=331000*1,2=397200
399300 – 397200= 2100
Ответ: дифференцированные платежи, выгода 2100 рублей.
Задача №4.
Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма текущего долга увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит?
Решение:
Кредит (S)
Введём коэффициент b=1+0,01r
| Год | Долг с % |
| 0 | |
| 1 | Sb |
| 2 | Sb2 |
| 3 | Sb3 |
| n год | Sbn |
Sbn=928200, ставка (r) -10%, b=1,1
х= 200000рублей, аннуитетные платежи.
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 | Sb | х | Sb-x |
| 2 | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 | b(Sb2-xb-x)=Sb3_ хb2-xb | х | Sb3_ хb2-xb-x |
| n год | Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb | x | Полная выплата, долг равен 0 |
Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb-x=0
Sbn-x(bn-1+bn-2 +…+b2+b+1)=0
По формуле суммы геометрической прогрессии
bn-1+bn-2 +…+b2+b+1= 
Sbn- x 
=0
928200- 200000 
=0
2000000 
-1)=928200
=1+0,4641, =1,4641
n=4
Ответ:4 года.
Вклады.
Задача №1.
Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
Решение:
S=3600 тысяч – сумма вклада
|
|
|
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=3 года, х =? – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x |
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x |
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | Снял вклад |
Sb3+хb2+xb = 1,485S
х(b2+b) = 1,485S - Sb3
х(1,21+1,1) = 1,485S – 1,331S
2,31х = 0,154*3600
2,31х = 554,4
х = 240
Ответ: 240000.
Задача №2.
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? (Решение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии)
Решение:
S=1000000 – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=4 года, х =133000 – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x |
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x |
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | +х | Sb3_+хb2+xb+х |
| 4 год | b(Sb3_+хb2+xb+х)= Sb4_+хb3+xb2+хb | Снял вклад |
Sb4_+хb3+xb2+хb=Sb4_+хb(b2+b+1)= 
