Задача №2.
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Вся площадь: 10 га
1 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
Картофель | 500 | x | 500x | 5000 | 2500000x |
Свекла | 300 | kx | 300kx | 8000 | 2400000kx |
Составим функцию полного дохода:
∑(x,k) = 2500000x+2400000kx→наиб
Заметим, что x+kx=10, т.е. x= где k
∑(k) = + →наиб
∑(k) = →наиб
Возьмём производную этой функции
= =
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при k=0. Это означает, что всё первое поле нужно засадить картофелем, при этом доход будет 2500000 рублей
2 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
Картофель | 300 | 5000 | |||
Свекла | 500 | 8000 |
Из второй таблицы видно, что свекла имеет, как большую урожайность, так и большую цену за центнер, следовательно, второе поле нужно засадить свеклой. При этом доход будет 500 8000 рублей
Полный доход составляет 25 млн + 40 млн = 65 млн рублей.