Ответ: 2685000 рублей

Задача №12.

Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Решение

Пусть x центнеров выпускает фабрика в стеклянной таре, а y центнеров – в жестяной. Тогда по условию имеем: x  

Составим функцию прибыли:

∑(x,y) = 600x+650y→наиб

Пусть производственная возможность равна 1, тогда  +  = 1

80x + 90y = 7200

x = 90 – 1,125y

∑(y) = 600(90 – 1,125y)+650y→наиб

∑(y) = 54000 - 25y→наиб

Возьмём производную этой функции

 =

Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при y=20. Тогда x = 90-1,12  

При этом максимальная прибыль будет рублей.

Ответ: 53500 рублей.

Нестандартные задачи

Задача №1.

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Решение:  

Составим функцию квадрата расстояния между велосипедистами:

∑(t) = →наим, где t

∑(t) = 25-400t+1600 →наим

∑(t) = 2500 →наим

Возьмём производную этой функции

 = 5000t-580

Найдём нули производной: 5000t-580=0

 t = = =

Функция принимает своё наименьшее значение при t=  ч = 60 (точка минимума).

Найдём расстояние между велосипедистами:  =  =  = = = 0,6