Тригонометрические функции определяются равенствами

1 2 3 4 5

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Баранова Е.С.

Санкт-Петербург

2006

Задача 1

Изобразить число на комплексной плоскости, найти

его модуль и аргумент и записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

Справочный материал

Комплексным числом называется выражение вида , где и — любые действительные числа, — мнимая единица, удовлетворяющая условию .

Запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Действительные числа и называются соответственно действительной (или вещественной) и мнимой частью комплексного числа и обозначаются

, .

Комплексное число называется сопряженным числу .

Комплексное число можно изображать на плоскости вектором с началом в точке и концом в точке . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось ординат — мнимой (рис. 1).

Рис. 1.

Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом числа : . Положительным направлением изменения угла считается направление против часовой стрелки. Модуль и аргумент комплексного числа определяются из формул:

, .

При нахождении аргумента следует учитывать, что для каждого числа его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное (аргумент числа не определён, а его модуль равен нулю). В качестве главного значения аргумента обычно выбирают значение из промежутка . Всё множество значений аргумента обозначают . Таким образом,

().

Если ,то из формулы получаем

	для внутренних точек I и IV четвертей, то есть при ,
	для внутренних точек II четверти, то есть при , ,
	для внутренних точек III четверти, то есть , .

Выделим четыре частных случая. Если z:

a) действительное положительное число, то ;

б) действительное отрицательное число, то ;

в) чисто мнимое с положительной мнимой частью, то ;

г) чисто мнимое с отрицательной мнимой частью, то .

Любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме

С помощью формулы Эйлера

можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к экспоненциальной (показательной).

Решение задачи

Число изобразим на комплексной плоскости точкой с координатами (рис. 2).

Найдем модуль заданного числа:

Так как точка лежит во второй четверти, то

Рис. 2.

Тригонометрическая форма имеет вид

а экспоненциальная

Задача 2

Найти а) , б) .

Справочный материал

Для того чтобы разделить одно комплексное число на другое, удобно домножить числитель и знаменатель дроби, полученной при записи действия, на комплексное число, сопряженное знаменателю:

Решение задачи 2а

Решение задачи 2б

Представим в тригонометрической форме и найдем действительную часть:

Задача 3

Вычислить .

Решение задачи

Учитывая, что , и , получаем

Задача 4

Вычислить .

Решение задачи

Представим числа и в показательной форме:

;

и возведем их в степени:

Тогда

Так как

получаем

Задача 5

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости .

Справочный материал

Извлечь корень натуральной степени из числа z - значит найти такое число , - я степень которого равна z.

Если , то

, .

Все различных значений имеют один и тот же модуль, равный . Аргументы значений и отличаются один от другого на . Поэтому точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Решение задачи

Найдем модуль и аргумент числа :

Следовательно,

Полагая , найдем пять различных значений корня:

	,
	,
	,
	,
	.

Изобразим полученные значения на комплексной плоскости (рис. 3).

Рис. 3.

Задача 6

Найти все значения функций:

а) , б) , в) .

Справочный материал

Пусть даны два множества и , принадлежащих расширенной комплексной плоскости.

Если каждому числу из множества поставлено в соответствие одно число из множества , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексной переменной , отображающая множество во множество .