2020-05-13
93
, 
,
, 
.
Логарифмическая функция
Число 
— логарифм числа 
(
), если 
.
(
).
Ввиду многозначности величины 
логарифм является многозначной функцией.
Главным значением логарифма называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа
.
Общая степенная функция 
Если 
— любое комплексное число, то
.
Эта функция многозначная, так как многозначна логарифмическая функция.
Общая показательная функция 
Если — любое комплексное число, отличное от нуля, то
.
Эта функция также является многозначной.
Обратные тригонометрические функции
 ,
|
 ,
|
 ( ),
|
 ().
|
Решение задачи
а) Подставляя в формулу 
значение 
, получаем
.
б) Полагая в формуле 
значение 
, запишем
.
Так как 
, то
.
Следовательно,
.
Замечая, что 
, запишем
.
Окончательно,
.
в) Воспользуемся представлением показательно-степенной функции в виде суперпозиции общих показательной и степенной функций, т. е.
.
Так как
,
,
то имеем
.
Подставляя полученное выражение, запишем
.
Задача 7
Нарисовать линии или области, заданные равенствами или неравенствами:
а) 
,
б) 
,
в) 
.
Справочный материал
Совокупность точек 
, таких что 
, образует окружность с центром в точке 
радиуса 
. Неравенство 
определяет множество точек, лежащих внутри этой окружности (внутренность круга), а неравенство 
— множество точек, лежащих вне окружности (внешность круга).
Совокупность точек , удовлетворяющих уравнению 
, образует луч, выходящий из точки и составляющий угол 
с положительным направлением оси 
.
Решение задачи
а) Из формулы Эйлера 
получаем
.
Следовательно,
или 
.
Возведя обе части уравнений последней системы в квадраты и сложив, получим уравнение
.
Так как параметр 
изменяется от 
до 
, то искомая линия представляет собой верхнюю половину окружности с центром в точке 
единичного радиуса (рис. 4).
Рис. 4.
б) Пусть 
. Тогда 
. Следовательно, 
.
Так как по условию 
, получаем 
или 
. Последнее неравенство определяет множество точек в первой и третьей четвертях, соответственно над и под гиперболой 
(рис. 5).
Рис. 5.
в) Так как 
,то неравенство
задает множество точек внутри и на окружности радиуса, равного 
, с центром в точке 
.
Система 
описывает точки, лежащие внутри и на границах области, образованной лучами, выходящими из начала координат под углами и 
к оси 
(рис. 6).
Рис. 6.
Задача 8
Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части
.
Справочный материал
Пусть функция 
определена на области D. Зафиксируем точку 
(соответственно функция примет значение 
). Пусть переменная z получит приращение 
, то есть 
(при этом 
должно быть настолько мало, чтобы точка z оставалась внутри области D). Тогда значение функции тоже получит приращение
.
Производной функции в точке 
называется предел
,
при условии, что он существует.
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует конечная производная 
.
Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в этой области.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, где 
и 
дифференцируемы в этой точке. Тогда для того, чтобы функция 
была дифференцируема в точке 
, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства
.
Эти равенства называются условиями Коши - Римана или условиями Эйлера - Даламбера.
Однозначная функция , дифференцируемая в какой-либо точке и некоторой ее окрестности, называется аналитической в этой точке.
Если функция является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической в этой области.
Функция является аналитической в области тогда и только тогда, когда в каждой точке этой области выполняются условия Коши-Римана.
Если аналитическая в некоторой области, то её вещественная и мнимая части 
и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа 
, то есть
, 
.
Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.
Решение задачи
1) Проверим, является ли функция гармонической.
; 
;
; 
;
Поскольку 
, требование гармоничности выполнено.
2) Для отыскания функции воспользуемся условиями Коши - Римана.
Так как 
, то из первого условия Коши - Римана получаем 
, откуда
. (1)
По второму условию Коши - Римана 
, то есть
, или
,откуда
.
Интегрируя, найдем 
, и подставим последнее выражение в формулу (1):
.
Таким образом, аналитическая функция имеет вид
.
Полагая в этом равенстве 
, получаем
.
Учитывая заданные начальные условия, находим 
:
.
Тогда
.
Задача 9
Найти образ линии 
при следующих отображениях:
а) 
, б) 
.
Решение задачи
а) Учитывая, что 
, запишем
,т.е. 
Выразим из последних соотношений 
и 
:
.
Подставив их в уравнение заданной линии, получим уравнение прямой 
, или 
(рис. 7).
Рис. 7.
б) Выражение дает 
или
.
Тогда
, 
.
Подставив 
и в уравнение исходной линии, получим 
, откуда 
, или
.
Последнее уравнение определяет окружность радиуса 
с центром в точке 
(рис.8).
Рис. 8.
Задача 10
Исследовать конечные особые точки функции и найти в них вычеты
а) 
, б) 
, в) 
.
Справочный материал
