Классификация особых точек

Точка называется особой точкой функции , если функция в этой точке не является аналитической.

Точка называется правильной точкой функции , если функция в этой точке и некоторой её окрестности является аналитической.

Особая точка функции называется изолированной особой точкой, если существует проколотая окрестность этой точки , не содержащая особых точек функции.

Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

Изолированная точка называется полюсом, если .

Если точка — ноль функции (), то она является полюсом функции .

Если — ноль порядка для функции , то назовём её полюсом порядка для функции . При полюс называется простым.

Изолированная особая точка называется существенно особой, если не существует.

Очевидно, что если — несократимая дробно-рациональная функция, то её конечными изолированными особыми точками являются корни знаменателя. Они могут быть только полюсами.

Пусть функция однозначна и аналитична в некоторой окрестности точки за исключением, может быть, самой точки . Вычетом функции в точке называется число, равное значению интеграла , где — любой замкнутый контур, лежащий в указанной окрестности и окружающий точку , причём обход происходит в таком направлении, чтобы оставалась слева, т. е.

Если точка является конечной изолированной особой точкой функции , то

Правила нахождения вычетов

Если — правильная или устранимая особая точка, то

Если — полюс первого порядка, то

Замечание. Если может быть представлена в виде частного , где , , , то

Если — полюс - го порядка функции , то

4. Если — существенно особая точка функции , то для вычисления вычета функции в этой точке обычно определяют коэффициент ряда Лорана непосредственно.

Решение задачи

а) Конечные особые точки функции - нули ее знаменателя. При этом, - ноль третьего порядка, а - ноль первого порядка. Следовательно, точки и -полюсы третьего и первого порядков соответственно. Тогда