Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий

ТЕМА 5: СРАВНЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ ФИШЕРА-СНЕДЕКОРА

Цель: научиться применять статистический метод для проверки ста­тистических гипотез относительно дисперсий и средних нормально распределенных совокупностей (ОК-1, ОПК-1, ОПК-7).

Место проведения: компьютерный класс кафедры математики и информатики.

Время проведения: 90 мин.

Перечень практических навыков:

1. Знать понятия: статистическая гипотеза, ошибка первого (второго) рода, критерий проверки статистической гипотезы;

2. Знать алгоритм решения задач на проверку статистических гипотез.

3. Уметь сравнивать генеральные средние двух произвольно распределенных случайных величин (большие независимые выборки);

4. Уметь сравнивать генеральные средние двух нормально распределенных случайных величин (малые независимые выборки);

5. Уметь проверять гипотезу о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей по их оценкам

Формируемые компетенции -  ОК-1; ОПК-1; ОПК-7;

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

·понятие о статистической гипотезе;

·нулевая и альтернативная гипотезы;-

·алгоритм решения задач на проверку статистических гипотез;

·сравнение генеральных средних двух произвольно распределенных случайных величин (большие независимые выборки);

·сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин (малые назависимые выборки);

·проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нор­мальных совокупностей по их оценкам;

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№	Этап занятия	Время
1	Организация занятия	2 мин
2	Определения цели и темы занятия.  Выявление исходного уровня знаний	13 мин
3	Решение самостоятельно по образцу или вместе с преподавателем практически-лабораторного задания	30 мин
4	Выполнение самостоятельной практически-лабораторной работы	40 мин
5	Подведение итогов занятия и проверка протоколов.	5 мин

Материалы и оборудование

Средства обучения	Таблицы (презентационный материал)
Учебно-методическое пособие ПК Задания для обработки данных	Таблица Критерия Стьюдента Таблица критерия Фишера-Снедекора Таблица функции Лапласа

 

Краткое содержание темы

Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.

 

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности Х и Y. Из них извлечены независимые выборки объемов соответственно п ₁ и п ₂, по которым вычислены исправленные выборочные дисперсии  и . Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н ₀: D (X) = D (Y) о равенстве дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей. Учитывая несмещенность исправленных выборочных дисперсий, можно записать нулевую гипотезу так:

                          Н ₀: М () = М ().                                                  

Замечание. Конечно, исправленные дисперсии, вычисленные по выборкам, обычно оказываются различными. При проверке гипотезы выясняется, является ли это различие незначимым и обусловленным случайными причинами (в случае принятия нулевой гипотезы) или оно является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

В качестве критерия примем случайную величину

                                    -                                                           

- отношение большей выборочной дисперсии к меньшей. Она имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k ₁ = n ₁ – 1 и k ₂ = n ₂ – 1, где п ₁ – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а п ₂ – объем второй выборки. Рассмотрим два вида конкурирующих гипотез:

- пусть Н ₁: D (X) > D (Y). Наблюдаемым значением критерия будет отношение большей из исправленных дисперсий к меньшей: . По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора можно найти критическую точку F_набл (α; k ₁; k ₂). При F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.

-

- если Н ₁: D (X) ≠ D (Y), то критическая область является двусторонней и определяется неравенствами F < F ₁, F > F ₂, где р (F < F ₁) = р (F > F ₂) = α/2. При этом достаточно найти правую критическую точку F ₂ = F_кр (, k ₁, k ₂). Тогда при F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.

Основные этапы работы на лабораторном занятии:

1. Решать задачи типа Гмурман В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики», гл. 13; №555, 556, 566, 568, 569, 573, 576, 584.

2. Научить в программе Excell проводить F-тест, z-тест, t- тест

3. Выполнить самостоятельную проверочную работу с помощью компьютеров типа:

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА

 

ВАРИАНТ 1

Частота пульса по данным медицинского осмотра 17 девочек-первоклассниц: 76 76 70 66 68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты пульса девочек и мальчиков случайным. Среднее выборочное значение частоты пульса 15 обследованных мальчиков 72, исправленное среднеквадратичное отклонение 1.2.

 

ВАРИАНТ 2

При определении количества сцеженного и высосанного молока у 8 женщин во время кормления ребенка из одной груди получены следующие данные: 100 110 105 85 110 90 95 105. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях количества сцеженного и высосанного молока при грудном вскармливании и количеством высосанного молока при искусственном вскармливании случайным. Среднее выборочное значение количества высосанного молока при искусственном вскармливании 10 обследованных младенцев такого же возраста 115, исправленное среднеквадратичное отклонение 13.4.

 

ВАРИАНТ 3

В результате измерения длины тела у 16 мальчиков при рождении были получены следующие данные: 49 52 54 49 52 54 50 49 53 52 54 50 50 54 49 51. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях длины тела при рождении мальчиков и длиной тела девочек. Среднее выборочное значение длины тела при рождении 10 новорожденных девочек 57, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.1.

 

ВАРИАНТ 4

В результате 10 одинаковых проб были получены следующие значения содержания марганца: 69 70 67 66 67 68 67 69 68 68. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение содержания марганца с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях содержания марганца в пробах №1 и пробах №2 случайным. Среднее выборочное значение содержания марганца в 12 пробах №2 - 69, исправленное среднеквадратичное отклонение 3.4.

 

ВАРИАНТ 5

Частота дыхания у 22 мужчин в возрасте 40-45 лет: 12 14 15 13 16 16 16 19 19 20 20 20 19 13 15 12 15 13 15 12 17 12. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.99. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты дыхания мужчин и женщин случайным. Среднее выборочное значение частоты дыхания 15 женщин- 13.5, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.5.

 

ВАРИАНТ 6

Рост мальчиков в возрасте 2 лет: 90 92 95 91 93 96 94 93 89 97. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях роста мальчиков и девочек такого же возраста случайным. Среднее выборочное роста 10 девочек - 98, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.8.

 

ВАРИАНТ 7

Частота пульса у 29 студентов-медиков перед экзаменом: 64 66 60 62 64 68 70 66 70 68 62 68 70 72 60 70 74 62 70 72 72 64 70 72 66 76 68 70 58. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.99. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты пульса перед экзаменом и после случайным. Среднее выборочное значение частоты пульса у этих же студентов после экзамена 72, исправленное среднеквадратичное отклонение 1.8.

 

ВАРИАНТ 8

Результаты измерения систолического артериального давления у 11 детей в возрасте 7 лет, страдающих болезнями почек: 120 115 110 120 115 120 100 90 105 95 120. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение систолического. артериального давления с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях систолического артериального давления у детей 7 лет и в возрасте 10 лет случайным. Среднее выборочное значение систолического артериального давления у 14 детей 10 лет - 116, исправленное среднеквадратичное отклонение 9.6.

 

ВАРИАНТ 9

Результаты при измерении длины тела при рождении 31 девочек: 48 51 53 49 51 53 51 48 52 51 53 49 50 53 48 52 50 52 50 51 52 53 52 47 48 48 52 50 46 46 54. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях длины тела при рождении девочек и мальчиков случайным. Среднее выборочное значение длины тела при рождении 30 мальчиков – 53 см, исправленное среднеквадратичное отклонение - 2.5 см.

 

ВАРИАНТ 10

У 12 матерей, имеющих порок сердца, родились дети с массой тела: 3.0 2.6 2.7 3.0 3.1 2.8 2.8 2.6 2.3 2.9 2.8 2.7. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях массы новорожденных детей, родившихся у матерей с пороком сердца и у здоровых матерей случайным. Среднее выборочное значение массы новорожденных детей у 20 здоровых матерей – 3.1 кг, исправленное среднеквадратичное отклонение 0.6 кг.

 

ВАРИАНТ 11

Частота пульса по данным медицинского осмотра 18 девочек-первоклассниц: 76 76  70 66 68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты пульса у первоклассниц и девочек из 3 класса случайным. Среднее выборочное значение частоты пульса у 14 третьеклассницы - 78, исправленное среднеквадратичное отклонение 4.1.

 

ВАРИАНТ 12

При определении количества сцеженного и высосанного молока у 8 женщин во время кормления ребенка из одной груди получены следующие данные: 100 110 105 85 110 90 95 105. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях количества сцеженного и высосанного молока при грудном вскармливании и количеством высосанного молока при искусственном вскармливании случайным. Среднее выборочное значение количества высосанного молока при искусственном вскармливании 10 обследованных младенцев такого же возраста 120, исправленное среднеквадратичное отклонение 23.4.

 

ВАРИАНТ 13

В результате измерения длины тела у 16 мальчиков при рождении были получены следующие данные: 49 52 54 49 52 54 50 49 53 52 54 50 50 54 49 51. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях длины тела при рождении мальчиков и длиной тела девочек. Среднее выборочное значение длины тела при рождении 10 новорожденных девочек 53, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.4.

 

ВАРИАНТ 14

Частота дыхания у 22 мужчин в возрасте 40-45 лет: 12 14 15 13 16 16 16 19 19 20 20 20 19 13 15 12 15 13 15 12 17 12. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.99.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты дыхания мужчин и женщин случайным. Среднее выборочное значение частоты дыхания 20 женщин- 14.5, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.8.

 

ВАРИАНТ 15

Частота пульса у 29 студентов-медиков перед экзаменом: 64 66 60 62 64 68 70 66 70 68 62 68 70 72 60 70 74 62 70 72 72 64 70 72 66 76 68 70 58. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.99.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты пульса студентов-медиков и абитуриентов. Среднее выборочное значение частоты пульса 15 абитуриентов перед экзаменом - 82, исправленное среднеквадратичное отклонение 2.5.

 

ВАРИАНТ 16

Результаты при измерении длины тела при рождении 31 девочек: 48 51 53 49 51 53 51 48 52 51 53 49 50 53 48 52 50 52 50 51 52 53 52 47 48 48 52 50 46 46 54. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.99. 

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях длины тела при рождении девочек и мальчиков случайным. Среднее выборочное значение длины тела при рождении 30 мальчиков – 53 см, исправленное среднеквадратичное отклонение - 2.5 см.

 

ВАРИАНТ 17

У 12 матерей, имеющих порок сердца, родились дети с массой тела: 3.0 2.6 2.7 3.0 3.1 2.8 2.8 2.6 2.3 2.9 2.8 2.7. Найти точечные параметры выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях массы новорожденных детей, родившихся у матерей с пороком сердца и у матерей, имеющих почечную недостаточность случайным. Среднее выборочное значение массы новорожденных детей у 20 матерей, имеющих почечную недостаточность, – 3.15 кг, исправленное среднеквадратичное отклонение 0.8 кг.

 

ВАРИАНТ 18

Частота пульса по данным медицинского осмотра 15 девочек-первоклассниц: 76 76 70 66 68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70. Найти точечные оценки выборки и оценить истинное значение с вероятностью 0.95.

При уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях частоты пульса девочек и мальчиков случайным. Среднее выборочное значение частоты пульса 15 обследованных мальчиков 72, исправленное среднеквадратичное отклонение 1.2.