Понятие статистической гипотезы

Под статистической гипотезой понимается высказывание относительно случайной величины, которое можно проверить по данной выборке, т.е. по результатам наблюдений. Процедуру сопоставления высказываний гипотезы с выборочными данными называют проверкой статистической гипотезы.

Выделяют следующие основные виды высказываемых в ходе статистической обработки данных гипотез:

1) О виде закона распределения случайной величины;

2) Об однородности двух или нескольких обрабатываемых выработок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

3) О числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

4) О виде зависимости между компонентами исследуемого многомерного признака.

5) О независимости и стационарности обрабатываемого ряда наблюдений.

Проверяемую статистическую гипотезу принято называть основной или нулевой гипотезой (H₀:).

Противоположную гипотезу называют альтернативной или конкурирующей (H₁:):

Например, проверяется гипотеза о том,что математическое ожидание равно числу a. Необходимо на основании данных наблюдения принять или отвергнуть данную гипотезу. Нулевая гипотеза в данном случае формулируется как

H₀: m_x= a.

Альтернативная –

H₁: m_x ≠ a.

Т.к. проверка статистических гипотез основывается на наблюдаемых статистических данных, то, отвергая или принимая гипотезу, мы всегда рискуем совершить ошибку. Ошибки могут быть двух родов:

I. гипотеза H₀ отвергается, в то время как она верна;

II. гипотеза не отвергается, в то время, как она в действительности неверна.

Проверка статистической гипотезы осуществляется с помощью различных статистических критериев. Произвольный критерий обозначим как φ (фи).

В качестве критерия φ используется некоторая случайная величина, значения которой могут быть вычислены на основании имеющихся статистических данных.

Например, при проверке гипотезы о соответствии наблюдаемых данных некоторому закону распределения используется критерий хи-квадрат (χ²):

На множестве возможных значений критерия выбирается подмножество, называемое критической областью. Если вычисленное значение критерия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отвергается.

Критическая область выбирается таким образом, чтобы вероятность совершить ошибку первого рода не превосходила некоторого заранее определённого числа , которое называется уровнем значимости. В качестве в экономических расчетах принимается значение вероятности - от 0,01 до 0,05.

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается β, величина (1- β) определяет мощность критерия, и она равна вероятности отвергнуть неверную гипотезу.

Граничные точки критической области называются критическими точками. Возможны три варианта расположения критической области. Они зависят от вида нулевой или альтернативной гипотез и закона распределения статистического критерия φ.

1-ый вариант: правосторонняя критическая область

Правая критическая точка определяет критическую область, которая является зоной отклонения гипотезы.

Если рассчитанное значение критерия будет больше чем правостороннее критическое значение: φ_р > ,то гипотеза отвергается при уровне значимости . - это вероятность того что случайная величина φ будет больше , т.е. =Р(φ_р> ).

2-ой вариант: левосторонняя критическая область

Левая критическая точка определяет критическую область, которая является зоной отклонения гипотезы.

Если рассчитанное значение критерия меньше чем левостороннее критическое: φ_р < , то гипотеза отклоняется при уровне значимости . Вероятность совершить ошибку 1 рода есть вероятность того, что φ_р < , т.е. =Р(φ_р < ).

3-ий вариант: двусторонняя критическая область

Правая и левая критические точки определяют правую и левую зоны отклонения гипотезы соответственно. Вероятность совершить ошибку первого рода есть вероятность попадания произвольного критерия в отрезок между правой и левой критическими точками: =Р( <φ_р< ).