Математическая модель Аэростатного Зонда и оценка проектных параметров с учетом неопределенности внешних условий и исходных данных

Анализ процесса ввода аэростатных станций в действие и дрейфа в атмосфере, а также послеполетная обработка результатов штатного (или нештатного) функционирования могут быть проведены только с использованием математических моделей, отражающих движение аэростата, теплообмен между газом в оболочке и окружающей средой. При этом необходимо учитывать реальные характеристики оболочки аэростата, полученные в результате наземных испытаний, и широкий спектр различных возмущающих воздействий.

Именно с учетом вышеизложенных рассуждений для исследований процессов, связанных с вводом АЗ, в данном пособии был определен состав математической модели как совокупности следующих ее составных частей:

· модель движения;

· размерно-массовая модель;

· тепловая модель;

· аэродинамическая модель.

При формировании математических моделей принимались допущения, предельно упрощающие математические описания с целью выделения наиболее значимых для данных исследований факторов.

 

Модель движения

Процесс движения АЗ в атмосфере состоит из следующих основных участков:

· участок аэродинамического торможения в составе спускаемого аппарата;

· участок совместного движения АЗ с верхней полусферой на парашюте увода;

· участок движения на аэростатной парашютной системе, в процессе которого осуществляются развертывание и наполнение оболочки аэростата газом;

· участок движения аэростата с балластом;

· участок выхода на высоту дрейфа;

· дрейф аэростатной станции на высоте аэростатического равновесия.

Особое внимание при формировании модели с учетом объекта исследования уделено заключительному этапу функционирования АЗ и обеспечению ввода его в действие. Для оценки процесса дрейфа, возможности управлять им и правильной интерпретации полученных во время отработки экспериментальных данных разработана математическая модель АЗ, достаточно полно описывающая как номинальное, так и возмущенное движение аэростата при дрейфе [16].

Движение АЗ на парашютной системе. Математическое описание динамики полета АЗ в атмосфере, в общем случае пространственного движения, приводит к чрезвычайно громоздкой системе дифференциальных уравнений. Для проведения качественных исследований с целью выявления основных закономерностей целесообразно использовать систему уравнений, записанных при таких упрощающих допущениях:

· движение около центра масс не рассматривается;

· планета имеет форму шара с радиусом ;

· поле тяготения центральное;

· не рассматривается движение под действием горизонтальной компоненты ветра.

К  основным силам, действующим на АЗ при его движении в атмосфере относятся:

· сила тяжести ;

· аэродинамическая сила ;

· аэростатическая подъемная сила .

Действие других сил, например центростремительной силы, обусловленной кривизной поверхности планеты, силы Кориолиса, притяжения Солнца и других небесных тел, мало по сравнению с действием основных сил и в математической модели не учитывается.

Сила тяжести G, обусловленная взаимным притяжением тел, обладающих массой, согласно закону всемирного тяготения с учетом принятой сферической модели гравитационного поля планеты может быть выражена следующим образом:

		,
где	– масса АЗ;
	– ускорение свободного падения;
	– ускорение свободного падения на поверхности планеты;
	– радиус планеты;
	– высота от поверхности планеты.

Аэродинамическая сила R является равнодействующей сил давления и трения, возникающих при движении АЗ относительно воздушной среды, и зависит от формы и размеров оболочки аэростата, числа Рейнольдса , угла атаки .

В общем случае эта сила раскладывается на две составляющие (сила лобового сопротивления и аэродинамическая подъемная сила), величина которых определяется соответствующими коэффициентами

	,
	.

Аэростатическая подъемная сила  может быть представлена выражением:

	,
где – плотность атмосферы на высоте Н;
– объем оболочки аэростата.

Уравнения движения. С учетом принятых допущений уравнения движения АЗ а в атмосфере в проекциях на оси скоростной системы координат имеют вид:

			,
			,
			,
			,
где		– высота над нулевым уровнем поверхности;
		– скорость аппарата;
		– дальность;
		– траекторный угол;
		– коэффициент аэродинамического сопротивления парашюта;
		– площадь парашюта;
		– коэффициент сопротивления аэростата;
		– характерная площадь аэростата;
		– коэффициент аэродинамического сопротивления АЗ;
		– площадь миделя АЗ;
		– плотность атмосферы;
		– ускорение силы тяжести на высоте  от поверхности;
		– коэффициент присоединенной массы.

Участок дрейфа АЗ в атмосфере. При движении в атмосфере АЗ  отслеживает различные атмосферные возмущения: ветер, изменения плотности в результате колебаний температуры и давления, гравитационные волны (одновременное изменение вертикального ветра и плотности атмосферы по синусоидальному закону), а также изменения состояния подъемного газа и оболочки аэростата (перегрев газа в оболочке, утечка газа через оболочку). Математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений движения центра масс АЗ в проекции на оси принятой системы координат.

На участке дрейфа в атмосфере вертикальное движение аэростата как материальной точки под действием сил веса, подъемной силы и силы лобового сопротивления описывается уравнением:

			,
где		– масса аэростата (вместе с массой подъемного газа);
		– коэффициент присоединенной массы;
		– скорость вертикального ветра;
		– объем аэростата.

Для участка выхода АЗ на дрейф, когда скорость вертикального ветра W мала по сравнению со скоростью аппарата V, принято V _в = - V. Так как объем зонда мал по сравнению с объемом аэростата, то до момента начала наполнения оболочки аэростата принимается U   =  0.

Данная система уравнений дополняется уравнениями, описывающими состояние атмосферы:

, , 

,

где	– температура атмосферы;
	– давление атмосферы;
	– время суток.

В модели учитывались реальные характеристики оболочки аэростата, полученные в результате наземных испытаний:

· диаграмма растяжения материала оболочки в зависимости от избыточного давления (см. размерно-массовую модель), при этом зависимость объема оболочки от избыточного давления принимаем линейной, пренебрегая небольшим гистерезисом, что для малых аэростатов оправдано и не вносит существенной погрешности в расчеты;

·  аэродинамические характеристики в зависимости от режима обтекания оболочки – ламинарный или турбулентный (см. аэродинамическую модель – зависимость );

·  газопроницаемость оболочки (см. размерно-массовую модель);

·  устойчивость аэростата от величины избыточного давления (под устойчивостью понимаем стремление аэростата вернуться на исходную высоту статического равновесия после прекращения действия возмущающего фактора);

·  влияние режима обтекания оболочки на реакцию аэростата.

Учитывались также такие возмущающие воздействия (для Венеры, например), как:

1) вертикальные порывы ветра, заданные в виде прямоугольного импульса:

а) с амплитудой

м/с, (  м/с)

(знак «+» соответствует порыву ветра, направленному вниз), и временем действия ветра t = 45 мин, для различных значений коэффициента  и , а также с учетом режима обтекания оболочки ;

б) изменение плотности атмосферы в результате вариаций температуры и давления (  мм. рт. ст., );

в) влияние солнечного потока на высоту дрейфа аэростатной станции с целью определения изменения высоты дрейфа при переходе с ночной стороны планеты на дневную в результате перегрева газа в оболочке для различных значений зенитного угла Солнца , ();

2) заданные в виде синусоидальных колебаний:

а) вертикальные порывы ветра с амплитудой  м/с

и периодом колебаний  с;

б) гравитационные волны ,

с разностью фаз между ветром и плотностью .

Изменение массовых, аэродинамических и геометрических характеристик АЗ, входящих в уравнения движения, осуществляется в соответствии с принятой схемой выхода на дрейф.