Самостоятельная работа

Тема: «Правила комбинаторики»

Теория и примеры

Правило суммы: Если объект из множества А может быть выбран m способами, а объект из множества В может быть выбран n способами, то объект из множества А или В может быть выбран (m+n) способами.

Пример: Сколькими способами может быть выбрана гласная или согласная буква в слове «весна»?

Решение: согл. = 3 буквы, глас. = 2 буквы, тогда получаем 3+2=5 способами.

Правило произведения: Если объект из множества А может быть выбран m способами, а объект из множества В может быть выбран n способами, то объект из множества А и В может быть выбран (mn) способами.

Пример: Сколькими способами может быть выбрана гласная и согласная буква в слове «ветка»?

Решение: согл. = 3 буквы, глас. = 2 буквы, тогда получаем 3*2=6 способами.

Пример: Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3? Перечислите их

Решение: Перечислим их: 10,20,30,11,12,13,21,22,23,31,32,33

На первом месте могут стоять любая из цифр 1,2,3, на втором месте может стоять любая из 0,1,2,3 цифр. Всего получаем 3*4=12 чисел.

Правило включения-исключения: Если объект из множества А может быть выбран m способами, а объект из множества В может быть выбран n способами, а их общая часть насчитывает k элементов, то объект из множества А или В может быть выбран (m+n-k) способами.

Пример: В классе 25 человек. Из них 16 человек изучают английский язык, 12 человек французский, 10 немецкий, 7 английский и французский, 6 немецкий и французский, 4 английский и немецкий, 2 все три языка остальные испанский. Сколько человек знают: только испанский; знают английский и французский, но не знают немецкий; знают только один язык?

Решение: Исп.яз.= 25-(16+12+10-7-6-4+2)=2 человека

Анг.+фр.яз.=7-2=5 человек

Англ.яз.=16-7-4+2=7 человек

Нем.яз.=10-6-4+2=2 человека

Фр.яз.=12-7-6+2=1 человек

Один язык=7+2+1+1=11 человек.

Самостоятельная работа

1) Сколькими способами может быть выбрана гласная или согласная буква в слове «курица»?

2) Сколькими способами может быть выбрана гласная или согласная буква в слове «осень»?

3) Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 5, 8, 9?

4) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3?

5) Из 30 человек требуется выбрать одного командира, одного заместителя и одного дежурного. Сколькими способами это можно сделать?

Тема: «Бином Ньютона»

Теория и примеры

В теории многочленов двучлены часто называют биномами.

Формулу (*) называют биномом Ньютона, а числа биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты легко находят с помощью треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля – это таблица значений , составленная на основании рекуррентного свойства числа сочетаний с учетом того, что