Тема: «События и операции над ними»

Теория и примеры

Событие называется случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может наступить, а может и не наступить. Примером такого события может служить выпадение герба при бросании монеты.

Событие называется достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие обязательно произойдет. Например, достоверным событием будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игрального кубика.

Событие называется невозможным, если при проведении некоторого испытания оно никогда не наступит. Примером такого события может служить выпадение числа 7 при бросании игрального кубика.

Суммой событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий А и В обозначают А+В.

Произведением событий А и В называют событие, которое состоит в том, что происходят оба этих события. Произведение событий А и В обозначают АВ.

События А и В называют равными (равносильными), и обозначают А=В, если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В.       

Событие  называют противоположным событию А, если событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Самостоятельная работа

1) Приведите примеры суммы и произведения двух событий

2) Записать событие, являющееся противоположным данному:

а) При бросании игрального кубика выпала пятерка

б) При бросании монеты выпал орел

в) Из колоды карт вынута карта пиковой масти

г) При написании слова ученик допустил ошибку

д) При выстреле по мишени стрелок промахнулся

3) Пояснить, в чем заключается событие А+В, АВ, если а) А – вынут карта пиковой масти, В – вынута десятка; б) Из 15 карточек с числами от 1 до 15, А – число на карточке кратно 3, В – число на карточке кратно 5.

Тема: «Классическое определение вероятности. Сумма и произведение вероятностей»

Теория и примеры

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числуn всех исходов испытания.

Пример: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

1) Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

2) Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

1) Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

2) Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

3) Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример: Вероятность того, что ученик сдаст экзамен равна 0,6. Найти вероятность, что ученик не сдаст экзамен.

Решение: Р=1-0,6=0,4

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р()=1

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).