Свойства числовых последовательностей

РАЗДЕЛ 8. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ТЕМА: Числовая последовательность. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Цель занятия: узнать, что называется числовой последовательностью и какими свойствами она обладает.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Числовая последовательность

Последовательность – ряд чисел. Каждое число имеет свой номер (первое, второе, третье и т.д.)

Примеры последовательностей:

2; 12; 22; 32…
218; 220; 218; 220;…..
1; 4; 9; 16; 25;…
10; 100; 1000; 10000; …

Рассмотрим последовательность. -19,2; -17,4; -15,6; -13,8;...

Заметим, что каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением числа 1,8.

Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 5, а каждый следующий получается из предыдущего прибавлением числа -2

5; 3; 1; -1; -3;...

Числовая последовательность - множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.

а _1, а _2, а ₃, …, а _n,… или (а _n)

y₁, y₂, y₃,…,y_{n, …} или у(n)

Последовательность может быть конечной или бесконечной.

 

Определение:                                                                                                                          

Функцию у = f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у₁, у₂, у₃..., у_n или у(n) или а1, а2,…, а_n… или а(n).

 

Способы задания последовательностей

 

· Словесно (описание словами, без указания формулы)

· Аналитический способ (формулой)

· Рекуррентный способ задания последовательности.

Рассмотрим примеры:

1. у_n= n² - аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n², …, где n – номер элемента последовательности

 У ₁ = 1 ² =1,
 У ₂ = 2 ² = 4 и т.д.

2. Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.

а _1, = а, а _n+1 = а _n+ d -- Арифметическая прогрессия

 

b _1, = b, b _n+1 = b _n· q -- Геометрическая прогрессия

 

Свойства числовых последовательностей

· Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_n < a_n+1.

· Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_n > a_n+1.

 

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Пример:

1. Последовательность, заданная формулой a_n = , является монотонной, возрастающей, т. к. разница , то есть .

2. Последовательность с общим членом не является монотонной, т.к.

· Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M ∈ R, что . При этом число M называется верхней границей последовательности.

· Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m ∈ R, что . Число m называется нижней границей последовательности.

Пример:

1. последовательность, заданная формулой , ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2. Последовательность, заданная формулой , не ограничена ни сверху, ни снизу.

 

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

 

Практические задания

Задание 1. Сколько членов последовательности находится между и ?

Задание 2. Последовательность задана формулой . Какие числа не являются членами этой последовательности? (Подобрать 3 любых числа).

Задание 3. Последовательность задана формулой . Найдите       26-й член этой последовательности.

Задание 4. Последовательность задана формулой . Какой член последовательности равен нулю? Найдите номер этого члена последовательности.

Задание 5. Найдите одиннадцатый член последовательности , заданной формулой .