Вычисление площади плоской фигуры

    Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл  выражает площадь области, ограниченной кривой  прямыми  и осью абсцисс. Такая плоская фигура называется криволинейной трапецией.

Рис. 2

Площадь криволинейной трапеции определяется по формуле:

                   

· Площадь фигуры, образованной пересечением кривых ,  и прямыми ,  при  (рис.3),

находится по формуле

.                         

Рис. 3

· Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми  выражается формулой

,                                   

где  и  определяются из уравнений ,

·  Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то площадь криволинейного сектора АОВ (рис. 4), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям угла , , находится по формуле

.                                  

Рис. 4

Рассмотрим несколько примеров на вычисление площадей в прямоугольных и полярных координатах.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

Решение:

Решение подобных задач необходимо начинать с построения графиков указанных функций и выделения области, площадь которой требуется определить.

Для этого надо найти точки пересечения кривых  и .

Приравнивая , получаем уравнение для определения абсцисс точек пересечения:

,

откуда , . Точками пересечения графиков являются точки , и  (Рис. 9).

 

Рис. 5

Далее по формуле находим площадь:

= (кв.ед.).

 

         Пример 8. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой  и прямой

Решение:

Построим график искомой фигуры.

Рис. 6

Затем, решая совместно уравнения, определяющие данные линии, получим

.

Отсюда  и  Площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  находим по формуле (29):

 (кв.ед.).

 

Пример 9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой  и прямой

       Решение:

       Построим график искомой фигуры (рис. 7)       

 

Рис. 7

Найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных линий:

Получаем  и  Искомая площадь равна

 (кв.ед.).

Пример 10. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой  (рис. 8)

 

Рис. 8

Решение:

Радиус-вектор опишет область с площадью, равной четверти искомой площади, если  меняется от  до :

=

(кв.ед.).

Таким образом, искомая площадь будет равна (кв.ед.).