2020-05-21
230
· Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, осью 
и двумя вертикалями 
и 
, вокруг оси 
, находится по формуле:
Если фигура, ограниченная кривыми 
, 
и прямыми 
, 
, вращается вокруг оси 
, то объем тела вращения находится по формуле:
Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной кривыми 
, 
и осью 
.
Решение:
Найдем точки пересечения кривых 
и 
. Имеем:
.
Þ 
, 
.
Так как по условию 
, 
– посторонний корень.
Кривые пересекаются только в одной точке с координатами 
(рис. 11)
Объем тела вращения (рис.14), образованного вращением криволинейного треугольника 
,состоит из суммы объемов тел вращения
,
где
– объем тела вращения, образованного вращением криволинейного треугольника 
,
– объем тела вращения, образованного вращением криволинейного треугольника 
.
По формуле (36) находим:
= 
(куб.ед.).
Рис. 11
Чтобы найти 
, преобразуем уравнение кривой 
:
.
Тогда по формуле находим:
=
(куб.ед.).
Следовательно,
+ 
(куб.ед.).
Если изобразить данное тело вращения, то получится фигура следующего
вида:
Рис. 12
2.7 Контрольные вопросы по разделу «Определенный интеграл»
1. Интегральная сумма и ее предел. Понятие определенного интеграла. Теорема существования. Геометрический смысл.
2. Свойства определенного интеграла.
3. Теорема о среднем.
4. Интеграл с переменным верхним пределом.
5. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Интегрирование по частям для определенного интеграла.
7. Замена переменной в определенном интеграле.
8. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
9. Вычисление площадей фигур, заданных в полярных координатах.
10. Вычисление объёмов тел, в том числе тел вращения.
11. Длина дуги. Дифференциал длины дуги.
12. Вычисление длины кривой, заданной в декартовых координатах.
13. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме и в полярных координатах.
2.8 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Определенный интеграл»
Задание1. Вычислить определенные интегралы.
1. 1)  ;
| 2. 1)  ;
|
2)  ;
| 2)  ;
|
3)  .
| 3)  .
|
3. 1) 
| 4. 1) 
|
2) 
| 2) 
|
3)  .
| 3)  .
|
5. 1) 
| 6. 1) 
|
2) 
| 2) 
|
3) 
| 3) 
|
7. 1) 
| 8. 1) 
|
2) 
| 2) 
|
3) 
| 3) 
|
9. 1) 
| 10. 1) 
|
2)  ;
| 2)  ;
|
3)  .
| 3)  .
|
Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При введении понятия определенного интеграла мы исходили из условий ограниченности подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.
3.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
| |
Пусть функция 
определена и непрерывна при всех значениях 
.
Определение 1. Если существует конечный предел
то этот предел называется
несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции 
на интервале 
и обозначается
Определение 2. Если предел (22) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел бесконечен или не существует – расходящимся.
