Вычисление объема тела вращения

· Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и двумя вертикалями  и , вокруг оси , находится по формуле:

                             

Если фигура, ограниченная кривыми ,  и прямыми , , вращается вокруг оси , то объем тела вращения находится по формуле:

                         

 

Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной кривыми ,  и осью .

Решение:

Найдем точки пересечения кривых  и . Имеем:

.

Þ   , .

Так как по условию , – посторонний корень.

Кривые пересекаются только в одной точке с координатами  (рис. 11)

       Объем тела вращения (рис.14), образованного вращением криволинейного треугольника ,состоит из суммы объемов тел вращения

,

где

 – объем тела вращения, образованного вращением криволинейного треугольника ,

 – объем тела вращения, образованного вращением криволинейного треугольника .

По формуле (36) находим:

=  (куб.ед.).

 

Рис. 11

Чтобы найти , преобразуем уравнение кривой :

.

 

Тогда по формуле находим:

=

 (куб.ед.).

Следовательно,

 +  (куб.ед.).

Если изобразить данное тело вращения, то получится фигура следующего

вида:

Рис. 12

 

2.7 Контрольные вопросы по разделу «Определенный интеграл»

1. Интегральная сумма и ее предел. Понятие определенного интеграла. Теорема существования. Геометрический смысл.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Теорема о среднем.

4. Интеграл с переменным верхним пределом.

5. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Интегрирование по частям для определенного интеграла.

7. Замена переменной в определенном интеграле.

8. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

9. Вычисление площадей фигур, заданных в полярных координатах.

10. Вычисление объёмов тел, в том числе тел вращения.

11. Длина дуги. Дифференциал длины дуги.

12. Вычисление длины кривой, заданной в декартовых координатах.

13. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме и в полярных координатах.

2.8 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Определенный интеграл»

Задание1. Вычислить определенные интегралы.

 

1. 1) ;	2. 1) ;
2) ;	2) ;
3) .	3) .
3. 1)	4. 1)
2)	2)
3) .	3) .
5. 1)	6. 1)
2)	2)
3)	3)
7. 1)	8. 1)
2)	2)
3)	3)
9. 1)	10. 1)
2) ;	2) ;
3) .	3) .

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При введении понятия определенного интеграла мы исходили из условий ограниченности подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется  несобственным.

3.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция  определена и непрерывна при всех значениях .

Определение 1. Если существует конечный предел

 то этот предел называется

несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции  на интервале  и обозначается

                                                     

Определение 2. Если предел (22) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел бесконечен или не существует – расходящимся.