Вычисление длины дуги плоской кривой

· Если кривая  на отрезке  – гладкая (т.е. производная  непрерывна), то длина дуги этой кривой, содержащейся между двумя точками и  с абсциссами  и , равна

                                                     .                                                 

· Если кривая задана уравнениями в параметрической форме  и , где  и  непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги кривой равна

                                               ,                                           

где  и  – значения параметра, соответствующие концам дуги.

·  Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , , то длина дуги равна

Пример 11. Определить длину окружности

Решение:

Уравнение  определяет окружность радиуса  с центром в начале координат (рис. 9).

Рис. 9

Вычислим сначала длину четверти окружности, лежащей в первом квадранте – это дуга . Тогда уравнение дуги  будет: . Дифференцируя это уравнение, найдем:

.

Тогда по формуле

 =  = .

Длина всей окружности равна .

Пример 12. Вычислить длину астроиды  ,  ( рис. 10).

Рис. 10

Решение:

Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части , расположенной в первом квадранте.

Дифференцируя уравнения  и  по переменной , находим:

, .

Для дуги  параметр  будет изменяться от  до , следовательно,

=

Окончательно, .