Методы непосредственного интегрирования

В основе следующих способов интегрирования лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем:

если         то

где  произвольная дифференцируемая функция от .

 

Внесение постоянного множителя под знак дифференциала.

Согласно определению дифференциала, если  

                                          ,                    

тогда                                 ,             

                                          ;

Ø Обратите внимание! Интегралы рассмотренные далее однотипны: каждый из них может быть найден путем применения формулы к табличным интегралам.

                    

 

 

Пример 3. Найти интегралы:

а) ;        б) ;      в) ;

г) ;          д) ;    е) ;

ж) ;          з) ;

 

и) ;           к) .

 

Решение:

а) ;

Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала

 будет находиться аргумент  подынтегральной функции

Так как  то

.

Следовательно, подстановка  приводит рассматриваемый интеграл к табличному:

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

б) ;

Проведем преобразования, аналогичные преобразованиям в предыдущем интеграле. Отличие состоит лишь в том, что под дифференциал вносится дробное число.

в) ;

Для того чтобы данный интеграл стал табличным необходимо под знаком дифференциала получить выражение , которое является аргументом подынтегральной функции .

Для этого используем формулу

Следовательно,  и искомый интеграл имеет вид

Подстановка  приводит рассматриваемый интеграл к табличному:

Или, возвращаясь к старой переменной,

г) ;

В данном примере для преобразования под знаком дифференциалаприменим формулу

.

Так как , то

Следовательно, подстановка  приводит рассматриваемый интеграл к табличному:

д) ;

Проведем преобразования дифференциала:

Тогда интеграл приобретает вид:

 

е) ;

В данном случае преобразования дифференциала имеют вид:

ж) ;

Имеем  Следовательно,

.

и)

и)

к) ;

Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби

,

Тогда,

.