Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида

,

 — вещественная полуось,  и  — мнимые полуоси (рис. 10.10).

Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси OZ, — гиперболы (для однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости XOY, — эллипсы.

Рис. 10.9	Рис. 10.10

Канонические уравнения эллиптического параболоида

.

Здесь параметры  и  — положительные числа. Сечения, параллельные плоскости XOY, — эллипсы; сечения, параллельные оси OZ, — параболы (рис. 10.11).

Канонические уравнения гиперболического параболоида

.

Здесь  и  — положительные числа (параметры параболоида). Сечения, параллельные плоскостям YOZ и XOZ, — параболы; сечения, параллельные плоскости XOY, — гиперболы (рис. 10.12).

Рис. 10.11	Рис. 10.12

Канонические уравнения конуса

 (рис. 10.13).

Цилиндры

 — эллиптический цилиндр (рис. 10.14).

Рис. 10.13	Рис. 10.14

 — гиперболический  цилиндр (рис. 10.15).

 — параболический цилиндр (рис. 10.16).

Рис. 10.15	Рис. 10.16

 

 

4.4 Контрольные вопросы по разделу «Аналитическая геометрия»

 

1. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл его коэффициентов

2. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

3. Уравнение прямой в отрезках

4. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

5. Кривые 2-го порядка.

6. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл его коэффициентов.

7. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

9. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.

10. Поверхности второго порядка.

4.5 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Аналитическая геометрия»

Задание 1. Построить треугольник, вершины которого находятся в

точках ,  и . Найти:

1) уравнение сторон  и ;

2) уравнение высоты, проведенной из вершины ;

Задание 2. Дана треугольная пирамида с вершинами в точках

, , , .

Найти:1) уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и ;

       2) уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки

  Задание 3. Найти точки пересечения линий

и , сделатьчертеж.

1..

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 4. Привести уравнение кривой второго порядка

к каноническому виду, определить тип кривой, сделать чертеж.

1.              2.

3.          4.

5.                      6.

7.         8.

9.                    10.