2020-05-21
10647
Теорема: Вероятность события 
, которое может наступить только при условии наступления одного из несовместных событий 
, 
,…. 
, которые образуют полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :
(13)
Формулу (13) принято называть формулой полной вероятности.
Пример 21. Партия деталей содержит: 20% деталей, изготовленных заводом № 1; 30% деталей, изготовленных заводом № 2; 50% деталей, изготовленных заводом № 3.
Соответственные вероятности выпуска бракованных деталей составляют: 0,05; 0,01; 0,06. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?
Решение. Обозначим следующие события:
– выпуск бракованной детали,
– деталь с завода № 1 
;
– деталь с завода № 2 
;
– деталь с завода № 3 
.
Поскольку, согласно условию задачи:
; 
; 
;
То, согласно (13), можно записать следующее равенство:
Предположим, что имеется какое-то событие , которое может наступить только при условии появления одного из несовместных событий 
, 
,… образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое именно из этих событий наступит, их принято называть гипотезами. Вероятность появления события определяется по формуле полной вероятности (13).
|
|
|
Теперь предположим, что испытание было произведено и, в результате, появилось событие . Определим, каковы вероятности гипотез в связи с тем, что событие уже наступило, т. е., вычислим условные вероятности 
, 
, …, 
, …, 
; 
Далее, учитывая то условие что события и 
зависимые, и применяя теорему умножения зависимых событий, получим:
,
из которой получается следующая формула
(14)
где 
- полная вероятность наступления события .
Формула (14), получившая название формулы Байеса, позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .
Пример 22. На сборку поступают детали с 3-х станков. При этом, 50% деталей поступает с 1-го станка, дающего 1% брака; 30% деталей поступает со 2-го станка, дающего 2% брака и 20% деталей поступает с 3-го станка, дающего 1,5% брака.
Из поступивших на сборку деталей бала наудачу извлечена одна деталь, которая оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена
а) на 1 станке; б) на 2 станке; в) на 3 станке.
Решение. Обозначим следующие события:
– бракованная деталь.
– деталь изготовлена на 1 станке; 
; 
.
– деталь изготовлена на 2 станке; 
; 
.
– деталь изготовлена на 3 станке; 
; 
.
тогда 
.
Вычислим вероятности гипотез, что извлеченная сборщиком бракованная деталь изготовлена
|
|
|
а) на 1-ом станке, а именно:
;
б) на 2-ом станке:
;
в) на 3-ем станке:
.
Правильность вычислений подтверждается тем, что:
1.5. Задачи для самостоятельного решения
1. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару. (Ответ: 
).
2. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен. (Ответ: 
).
3. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины? (Ответ: 
).
4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали? (Ответ: 
).
5. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? (Ответ: 
).
6. [2] Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетовспортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способамиможно выбрать один билет спортлото или автомотолотереи? (Ответ: 
).
7. [2] В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта
карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели? (Ответ: 
; 
).
8. [2] Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с. любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков? (Ответ: 
).
9. [2] В классе 30 учеников. Ежедневно для дежурства выделяются два ученика. Можно ли составить расписание дежурств так, чтобы никакие два ученика не дежурили вместе дважды в течение учебного года? (Ответ: 
. Можно).
10. [2] Из полного набора шахмат вынули 4 фигуры или пешки. Во скольких случаях среди них окажется; а) два коня, б) не менее двух коней? (Ответ: а) 
; б) 
).
11. [2]. Имеется 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки различные). Сколькими способами может быть накрыт стол для чаепития на трех человек, если каждый получит одну чашку, одно блюдце, одну ложку? (Ответ: 
).
12. [2] В состав сборной включены 2 вратаря, 5 защитников, 6 полузащитников и 6 нападающих. Сколькими способами тренер может выставить на поле команду, в которую входит вратарь, 3 защитника, 4 полузащитника и 3 нападающих? (Ответ: 
).
13. [2] Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек (каждому из участников вручается только одна книга)? (Ответ: 
).
14. [2] Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найдите число таких номеров, если используются 24 буквы русского алфавита и 10 цифр (0, 1,..., 9). (Ответ: 
).
15. [2] Из букв слова событие, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекаются наудачу и складываются друг за другом в порядке их извлечения 3 карточки (буквы). Какова вероятность получить при этом слово быт? (Ответ: 
).
16. [2] В одном ящике имеется 12 однотипных деталей, из которых 4 нестандартные, в другом 15 деталей и 3 из них нестандартные. Из каждого ящика наудачу извлекается по 2 детали. Найдите вероятность того, что из первого ящика извлекли 2 нестандартные, а из второго ящика — 2 стандартные детали. (Ответ 
).
|
|
|
17. [2] Из полного набора костей домино наудачу отобрали 4кости, после чего кости возвратили в игру. Затем наудачу снова отобрали 4 кости. Какова вероятность того, что среди отобранных первый раз костей было 3 «дубля», а среди отобранных второй раз — только 2? (Ответ: 
).
18. [2] Из урны, содержащей 9 белых, 9 черных, 9 синих и 9 красных шаров, наудачу извлекаются 3 шара. Какова вероятность того, что извлеченными окажутся белые или черные шары? (Ответ: 
).
19. [2] В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы? (Ответ: 
).
20. [2] Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Если стрелок попадает в цель при первом выстреле, то ему предоставляется право стрелять во вторую цель. Вероятность поражения обеих целей этим стрелком равна 0,6. Какова вероятность поражения стрелком второй цели? (Ответ: 
).
21. [2] Имеются 2 одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3 белых шара, а вторая — 2 черных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается одна урна, а потом из нее извлекается наугад один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар? Решите ту же задачу, исходя из условия, что обе урны содержат по два белых и два черных шара. (Ответ: 
; 
).
22. [2] На карточках написаны буквы, образующие слово комбинаторика, но две карточки из этого набора утеряны. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что на ней окажется гласная буква? (Ответ: 
).
23. [2] Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25 вопросов, 5 — на 20 вопросов и двое — на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов. (Ответ: a) 
; б) 
).
|
|
|
24. [2] В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй — 36 студентов и в третьей — 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математическому анализу отметку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе? (Ответ: 
).
26. [2] Ученик пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что ученик знает наудачу вытянутый билет? (Ответ: 
).
27.[2] Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу по экзаменационным билетам, содержащим по три вопроса. Он знает,что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих студентов, из них шесть отличников, и трое неуспевающих студентов, и считает, что отличники ответят на все три вопроса с вероятностью 80%, остальные успевающие студенты — с вероятностью 60% и неуспевающие — с вероятностью 20%. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета. Какова вероятность
того, что он: а) отличник; б) успевающий студент; в) неуспевающий студент? (Ответ: 
; 
; 
).
28. [3] В старинной иrре в кости необходимо было для выирыша получить при бросании трех иrральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выбросить 11 и 12 очков; б) выиrрыша.
(Ответ: а) 
и 
;
б) 
).
29. [3] В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в 2 группы по 10 человек. Найти вероятность тoro, что а) двое наиболее сильных игроков будут играть в разных группах; б) четверо наиболее сильных попадут по два в разные группы. (Ответ: а) 
; б) 
).
30. [3] Имеется ящик, в котором содержалось 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика, 4 коробки уронили и графитовые стержни карандашей получили повреждения. Все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем изъяли две коробки, и карандаши раздали учащимся. Найти вероятность того, что взятый наугад один из этих карандашей имеет поврежденный графитовый стержень.
(Ответ: 
).
31. [3] 9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонax. Найти вероятность тoro, что а) в каждый вагон сядет по 3 пассажира;. б) в один вагон сядут 4, в друrой 3 и в третий 2 пассажира.
(Ответ:а) 
; б) 
).
32. [3] Вероятность для изделий некотоporo производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлаrается упрощенная система испытаний (контроля), дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделии, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность тоrо, что изделие, выдержавшее это испытание, удовлетворяет стандарту?
(Ответ: 
вероятность того, что испытание дало положительный результат, 
вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, тогда 
, т.е. 
).
33. [3] Стрелок 
поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 
, стрелок 
с вероятностью 
и стрелок 
с вероятностью 
. Стрелки. дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок 
в мишень или нет? (Ответ: 
(попал С/два попадания)=10/19, т. е. вероятнее что С стрелял).
34. [3] В трех ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и 3 черных, 2) 4 белых и 3 черных, 3) 6 белых и.2 черных шара. Предполаrая, что извлечение шара из любоrо ящика равновероятно, найти вероятность тoro, что извлечение было произведено из 1-ro ящика, если а) вынутый шар оказался белым; б) черным; в) решить ту же задачу, если вероятность извле-
чения из каждоrо ящика: 
, 
, 
. (Ответ: а) 
(1/б)=56/241; б) (1/б)= 84/179; в) 
(1/б)=4/59; (1/б)=6/41).
35. [3] Из урны. содержащей 
шаров неизвестнorо цвета, вы-
нут один шар, оказавшийся белым. По возвращении этоrо шара в урну вновь вынут шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белоrо цвета. Все первоначальные составы урны представляются,одинаково возможными. (Ответ: 
, где 
вынимание одного белого шара, 
вынимание двух белых шаров).
36. [3] Цех изготавливает приборы, состоящие из 
деталей. Вероятность каждой детали быть дефектной (брак) равна 
и не зависит от качества других деталей. Стоимость каждого прибора 
рублей. Изготовлено 
приборов. Найти значения , при которых проверка на приrодностъ каждой детали экономически нецелесообразна, если стоимость проверки каждой детали 
рублей.
37. [3] Некоторое событие может произойти в любой из дней недели с одинаковыми вероятностями. Найти.вероятность тoгo, что 12 осуществлений этого события подряд выпадут только во вторники и четверги. Согласуется ли этот случай с предположением о равновероятности осуществления события в любой из дней недели?
38. [3] Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,3; остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания.
а) Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чеrо цель, была поражена. Найти вероятность тoгo, что первое орудие стреляло.
б) Одно из орудий произвело два выстрела, в результате чего цель былa поражена. Найти вероятность тoгo, что стреляло первое орудие.
(Ответ:а) 
вероятность того, что первое орудие стреляло, 
вероятность того, что оно не стреляло, 
вероятность поражения цели с двух выстрелов, тогда а) 
; 
; 
; 
);
б) 
вероятность того, что первое орудие стреляло два раза, тогда
; 
).
39. [1] Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй — 6, из третьей группы —5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
(Ответ: Вероятности того, что выбран студент первой, второй,
третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59).
40. [1] В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике. (Ответ: 0,625).
