Действия над событиями

В процессе решения задач, непосредственный подсчет случаев благоприятствующих данному событию может оказаться очень затруднительным. В связи с этим, для определения вероятности события часто бывает более удобным представление рассматриваемого события в виде комбинации других событий являющихся более простыми. При этом необходимо знать такие правила действий над событиями как сумма, разность и произведение.

1.2.1. Сумма событий

Определение: Суммой нескольких событий принято называть событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них.

Так, например, в простейшем случае, когда событий два (А и В ), сумма(А + В) означает такое третье событие С, которое, если они совместны, состоит в появлении либо события А либо В, или того и другого, и наступление либо А либо В, если они несовместны.

Теоремы сложения вероятностей:

Теорема 1: Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

(8)

Отметим, что применение данной теоремы всегда требует проверки рассматриваемых событий на предмет их совместности!

Пример 12. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, при этом, на один выигрышный билет приходится 100 руб., на 5 билетов – 20 руб., на 100 билетов – 5 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 20 рублей по одному лотерейному билету.

Решение. Пусть – событие состоящее в выигрыше 5 руб., тогда

;

пусть – событие выигрыша 20 руб., тогда

пусть – событие выигрыша 100 руб., тогда

События , , – несовместны.

Пусть – событие выигрыша ³ 20 руб., тогда поскольку наступит или , или , то согласно (8):

Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, то есть

(9)

Пример 13. Найти вероятность, что при подбрасывании двух игральных кубиков хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение. Введем события:

– выпадение 6 очков на 1-ом кубике

– выпадение 6 очков на 2-ом кубике

Ввиду того, что события и совместны, то есть 6 очков по условию задачи может появиться либо на одном из кубиков, либо на обоих сразу, то согласно теореме 2.

С учетом того, что получим:

1.2.2 Разность событий

Определение: Разностью двух событий и : принято называть событие, которое состоится, если произойдет, а не произойдет.

Пример 14. Победитель соревнования награждается: призом ( событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ). Что представляет собой, например, событие ?

Решение. Событие заключается в награждении победителя одновременно и призом, и премией без выдачи медали.

Примечание: Разность двух событий и можно представить и как произведение события на событие противоположное : , т.е.: . Соответственно в примере 14 интересующее событие можно представить в виде: .