2020-05-21
3781
При решении задач, часто приходится вычислять так называемое наивероятнейшее числом появления того или иного события.
Определение: Наивероятнейшим принято называть число 
наступлений события 
при 
повторных независимых испытаниях если вероятность осуществления этого события 
, по крайней мере, не меньше вероятностей других событий 
при любом 
.
Выведем формулу для наивероятнейшего числа наступлений события 
при 
повторных независимых испытаниях, учитывая
; 
По определению:
(17)
(18)
С помощью формулы Бернулли, из неравенства (17) получим:
× 
× 
≥ 
× 
× 
Или, после сокращений: 
≥ 
Тогда: p(n + 1) ≥ m0(p + q), или учитывая, что 
:
(19).
По формуле Бернулли, из неравенства (18), получим:
× × 
≥ 
× 
× 
Или, после сокращений: 
≥ 
.
Тогда: 
, или учитывая, что 
, получим:
(20).
Совмещая неравенства (19) и (20), получим формулу для определения границы числа 
:
, или 
(21)
Отметим что величина , в (21), принимает только натуральные (целые положительные) значения.
Пример 24. Вероятность попадания орудия равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.
Решение: Здесь: 
; 
; 
; 
По формуле (21) получим: 50×0,9 – 0,1 ≤ m0 ≤ 0,9×(50 + 1).
Тогда: 44,9 ≤ 
≤ 45,9. Следовательно: = 45.
Пример 25. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле равна 0,7?
Решение: Здесь: 
; 
; 
; 
По формуле (21) получим: 0,7×n–0,3 ≤ 16 ≤ 0,7×(n + 1).
Из решения поочерёдно левого и правого неравенств получим: ≤ 23 
;
≥ 21 
. Тогда получим: 
; 
. То есть число выстрелов может быть 22 или 23.
2.5 Задачи для самостоятельного решения
41. [2] Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга? (Ответ: 
).
42. [2] Известно, что 5% радиоламп, изготовляемых заводом, являются нестандартными. Из большой партии (независимо друг от друга) производится случайная выборка радиоламп. Скольколамп надо взять, чтобы с вероятностью не менее 0,9 была извлечена хотя бы одна нестандартная лампа? (Ответ: 
).
43. [2] Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: а) на 3 вопроса, б) не менее чем на 3 вопроса? (Ответ: а) 
); б) 
).
44. [2] Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий. (Ответ: 
).
45. [2] Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем вопределении истинности или ложности десяти утверждений? (Ответ: 
).
46. [6] Карту вынимают из колоды 3 раза с возвращением. Какова вероятность того, что червонная масть выпадет: а) два раза; б) менее двух раз; в) ни разу; г) хотя бы один раз? (Ответ: а) 0,14; б) 0б844; в) 0,422; г) 0,578).
47. [2] Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет? (Ответ: 
).
48. [6] В среднем за неделю риэлторской конторе удается заключить 8 сделок сдачи жилья в наем. Какова вероятность совершения двух сделок в течение дня? (Ответ: 0,21).
49. [2] На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найдите вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе. (Ответ: 
).
50. [6] Вероятность того, что кредитная карта окажется действующей после 2000 обращений в банкомат, равна 0,1. Какова вероятность того, что из пяти карт не менее трех окажутся действующими после 2000 обращений? (Ответ: 0,0086).
51. [1] Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что«герб» выпадет: а)менее двух раз; б) не менее двух раз. (Ответ:а) 
; б) 
).
52. [1] Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. (Ответ: а) Вероятнее выиграть одну партию из двух: 
; 
; б) Вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех: 
; 
).
53. [1] Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. (Ответ: 
).
54. [2] Студент выполняет тестовую работу, состоящую из трех задач. Для получения положительной отметки достаточно решить две. Для каждой задачи предлагается 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность, что он получит положительную оценку? (Ответ: 0,104).
55. [2] Пара игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность событий: = (сумма очков, равная 7, выпадет дважды); 
= =(сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере один раз)? (Ответ: 0,23; 0,72).
56. [2] На автовокзале есть 10 автобусов. Для каждого из них вероятность поломки за день составляет 30 %. Определить вероятность того, что за день) а). выйдет из строя 7 автобусов; б) останется рабочим хотя бы один из них. (Ответ: а) 0,009; б) 0,999994).
57. [2] Вероятность попадания в мишень игроком за каждый бросок равна 0,6. Всего было совершено 5 бросков. Определить вероятность попадания в мишень: а) 3 раза; б) не менее половины бросков; в) не более 2 раз. (Ответ: а) 0,3456; б) 0,6825; в) 0,31744).
58. [3] При раздаче колоды в 52 карты четырем иrрокам один из них 3 раза подряд не получал тузов. Есть ли у нero основание жаловаться на «невезение»? (Ответ: Данное событие мало вероятно: 
, следовательно «невезение» налицо).
59. [3] Батарея дала 14 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти а) наивероятнейшee число попаданий и ero вероятность; б) вероятность разрушения объекта, если для ero разрушения требуется не менее 4 попаданий. (Ответ: а) 
и 
, 
; б) 
).
60. [3] Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочеrо в течение промежутка времени 
равна (1/3). Найти вероятность тoro что а) за время 
4 станка потребуют к себе внимания рабочего; б) число требований к рабочему со стороны станков за время будет между 3 и 6 (включая rраницы). (Ответ:а) а) 
; б) 
).
61. [3] В камере хранения ручного баrажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи с одного из стелажей в количестве 50 мест. Найти вероятность тoгo, что среди выданных вещей было 38 чемоданов. (Ответ: 
).
62. [3] При приемочном контроле из партии в 1000 штук изделий производится безвозвратная выборка 50 штук. Найти вероятность тoгo, что в выборке не окажется дефектных изделий, если во всей партии содержится 4 дефектных изделия. Сравнить точное значение этой вероятности с приближенным, найденным по формуле Пуассона.
(Ответ: 
, По формуле Пуассона 
).
63. [3] В одном из экспериментов с извлечением шаров из урны, содержащей поровну белых и черных шаров, было получено при 10000.извлечений (с возвращением) 5011 белых и 4989 черных шаров.
а) Какова вероятность такoгo результата эксперимента?
б) Если повторить этот эксперимент, то какова вероятность тoгo, что будет получено большее по абсолютной величине отклонение числа выпавших белых шаров от наивероятнейшего числа их выхода?
(Ответ: а) 
; б) 
).
64. [3] Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы вероятность появления среди них цифры 5 была не менее 0,9? (Ответ: 
, 
).
65. [3] Вероятность попадания в цель 
. Сбрасывается одиночно 6 бомб. Найти вероятность тoгo, что в цель попадают 4 бомбы. (Ответ: 
).
66. [1] Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно75 раз. (Ответ: 
).
67. [1] Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7.Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний. (Ответ: 
).
68. [1] Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз. (Ответ: 
).
69. [3] Телефонная станция обслуживает N абонентов, которые пользуются телефоном одинаково часто и в течение часа производя 
разrоворов со средней продолжительностью (1/40) часа. Найти вероятность одновременного разговора ровно 
абонентов. (Ответ: 
).
70. [3] Двое бросают правильную монету раз каждый. Найти вероятность тoгo, что выпадет одинаковое число очков. (Ответ: 
)/
71. [5] Вероятность выхода из строя одного элемента устройства, в течение 
часов работы, равна 0,002. Какова вероятность того, что за время 
из 1500 независимо работающих элементов выйдет из строя 4 элемента; б) не более 2 элементов? (Ответ: а) 
; б) 
)
72. [5] Некачественные изделия составляют 2% всей продукции цеха. Какова вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изделий окажется: а) не более 5 некачественных изделий; б) два или три некачественных изделия. (Ответ: а) 
; б) 
).
73. [5] Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120? (Ответ: 
)
74. [5] В городе N из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют такие телевизоры?
75. [5] Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз? (Ответ: 
)
76. [5] Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64. (Ответ: 
).
77. [5]. Замечено, что в среднем 80% посаженных семян всхожи. Сколько нужно посадить семян, чтобы с вероятностью 0,90 можно было бы ожидать, что не менее 100 посаженных семян взойдут? (Ответ: 
).
78. [5] Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что число 
наступлений события удовлетворяет следующим неравенствам: а) 
; б) 
(Ответ: а) 
; б) 
).
79. [5] Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,005. Какова вероятность попадания в цель не менее трех раз, если число выстрелов равно 800? (Ответ: 
).
80. [5] Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется доброкачественных? (Ответ: 
).
