Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений

Рассмотрим линейно-деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. 5.15).Для простоты выкладок рассмотрим простую двухопорную балку, последовательно нагружаемую двумя сосредоточенными силами.
 

Рис 15. Прямой и обратный порядок приложения нагрузки

Приравнивая полные работы при прямом и обратном порядке приложения нагрузок, получим
 

Работа, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызываемых другой силой или силами, называется дополнительной работой.

Согласно теореме о взаимности работ, работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

 Аналогичным образом может быть доказана также взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Рис 16. Взаимность дополнительной работы внутренних сил.

 Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:

(5.16)

Это соотношение будет использовано далее для обоснования общего метода определения перемещений (метода Мора).

Принимая

получим теорему о взаимности перемещений.

(5.17)

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки, приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.