Определение перемещений при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

 Для качественной оценки вида изогнутой оси балки можно использовать следующую зависимость:

Если,  т.е.  , то это прямолинейный участок. Знак кривизны совпадает со знаком изгибающего момента.

Рис. 9. Знаки кривизны упругой линии и изгибающего момента

 Для достаточно гладких функций в математике и для малой деформации в технической механике справедлива следующая зависимость.

(5.11)

гдеV - линейное перемещение по оси Oу или прогиб.

 Выражение (5.11) в механике деформируемых твердых тел известно, как дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Уравнение (5.11) оказывается справедливым только для отдельного участка балки, в пределах которого вся правая часть имеет вид гладкой аналитической функции.

 Рассмотрим случай, когда на балке имеется всего 1 участок.

Рис 10. К определению функции изогнутой оси балки

Исходное дифференциальное уравнение может быть для рассматриваемого случая записано в следующем виде
(5.12)

После интегрирования получаем выражение для функции углов поворота
(5.13)

После еще одного интегрирования получаем выражение для функции прогиба

(5.14)

Для определение постоянных интегрирования и рассмотрим граничные условия в жесткой заделке
 граничные условия.

Если мы имеет N участков, то нам неизвестно 2N постоянных интегрирования. Кроме граничных условий мы должны использовать условия сопряжения.

Рис 11. Балка, содержащая два участка

Пример 5.1. Рассмотрим методику интегрирования дифференциального уравнения упругой линии консольной балки

Рис. 12. Определений перемещений при изгибе консольной балки

(5.14)

Использование дифференциального уравнения изогнутой оси балки (5.10) при большом количестве участков связано с определенными вычислительными трудностями.