Элементы, используемые при построении сечений

Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках.

Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг.

Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей пря мой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная прямая (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы, проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Вопрос 4. Части шара

Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью.

Можно дать и следующее определение: Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом.

Круг ABC, который образовался в месте сечения, называется основой (основанием) шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента h (длинf перпендикуляра, проведенного от середины основы сегмента к поверхности сегмента.). Точка M является вершиной шарового сегмента.

Срез шара - это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.

Срез шара еще называют шаровым слоем (см.рис.ниже):

Часть сферы, которая заключена между двумя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем.

Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом.

Круги ABC и DEF – основания шарового пояса.

Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Можно дать также следующее определение шарового сектора (см.рис.ниже):

Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC, основанием у нее является основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором.

Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Контрольные вопросы

1. Дать определение шара и сферы. Уметь представить схему шара и сферы.

2. Знать элементы шара и сферы.

3. Знать формулы определения объема шара, площади поверхности сферы, уравнение сферы.

4. Знать элементы и уметь изобразить схемой элементы сечения шара и сферы.

5. Основные свойства шара и сферы.

6. Перечислить части шара, дать их характеристику и сопутствующие формулы площади поверхности и объема.

Решение задач

Задача № 1

Стороны треугольника ΔАВС касаются сферы радиусом R = 5 см.

Найти расстояние от центра сферы до плоскости АВС, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 3

Решени е:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔОНК:

О – центр сферы,

Н – центр окружности сечения шара плоскостью треугольника ΔОНК,

К – точка на этой окружности.

В треугольнике ΔОНК известна сторона ОК, как радиус шара (5 см).

Чтобы найти искомое расстояние ОН от центра сферы до секущей поверхности треугольника ΔАВС, необходимо найти радиус НК вписанной в треугольник ΔАВС окружности.

2. Окружность является вписанной в треугольник ΔАВС.

Воспользуемся формулой определения площади треугольника, в который вписана окружность:

где r – радиус окружности, вписанной в треугольник;

S – площадь треугольника АВС, в который вписана окружность;

p – полупериметр треугольника АВС.

2.1. Найдем полупериметр ΔАВС:

– полупериметр.

2.2. Найдем площадь треугольника ΔАВС по формуле Герона:

Тогда радиус вписанной окружности НК:

3. Найдем искомое расстояние ОН от центра сферы до плоскости ΔАВС как катет в прямоугольном ΔОНК, в котором известны гипотенуза ОК (радиус сферы – 5 см) и второй катет НК (радиус окружности сечения – 4 см) – по теореме Пифагора:

2 2 2

ОН = ОК – НК

ОН = 3 см.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ΔАВС

равно 3 см.

Задача № 2

Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см.

Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Рис. 3

Решение:

Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба ОМ можно как катет в прямоугольном ΔОМК, в котором необходимо найти гипотенузу ОК (радиус сферы) и необходимо найти катет МК (радиус окружности, полученной в результате сечения сферы плоскостью ромба).

1. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб.

Ромб разделен диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника.

По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, АД, равна:

Рис. 4

Тогда высоту МК, опущенную на сторону ромба АД в ΔАМД (одного из четырех равных треугольников ромба), (рис. 4) найдем по формуле:

где a, b – это катеты МА и MД одного из четырех равных треугольников

ромба ΔАМД;

при этом катеты равны половинам диагоналей ромба: 10; 7,5 см.

с – это гипотенуза одного из четырех равных треугольников ромба,

являющаяся также уже найденной нами стороной ромба (АД)

(12,5 см).

3. Очевидно, радиусом окружности сечения будет высота МК прямоугольного треугольника АМД.

То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5 (рис.4).

Рис. 5

4. Искомое расстояние от центра до плоскости ОМ найдем по теореме Пифагора как неизвестный катет в прямоугольном ΔОМК (рис. 5), в котором известна гипотенуза ОК (радиус сферы) и катет МК (радиус окружности сечения)

Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8:

√100 – 36 = √64 = 8

Ответ: расстояние от центра сферы

до плоскости ромба равно 8 см.

Задача № 3

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 15 см.

Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.

Решение:

Рис. 6

1. Пусть:

- центр сферы – точка О,

- точка касания – точка М,

- данная точка – точка А.

Тогда:

- ОМ = 112 см (по условию),

- МА = 15 см (по условию).

2. Пусть ОА пересекает сферу в точке В.

Тогда:

- точка В – искомая точка (рис. 7).

Докажем, что расстояние АВ – наименьшее.

Рис. 7

3.Пусть точка С (отличная от точки В и не лежащая на линии ОА) (рис. 8) на сфере такова, что АС < АВ.

Рис. 8

Тогда:

Но по неравенству треугольников.

Значит, АВ – искомое наименьшее расстояние.

4.Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАМ.

По теореме Пифагора:

Тогда .

Ответ: расстояние равно 1 см.

Домашнее задание

Задача 1

1) Диаметр шара равен N см. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45º к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Где N – это номер студента в классном журнале.

Задача 2

1) Все стороны правильного треугольника касаются сферы радиуса N см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его сторона равна 50см.

Где N – это номер студента в классном журнале.

ТЕСТ

1. Сечением шара плоскостью является...

2. Сечение сферы плоскостью есть...

3. Можно ли развернуть сферу на плоскость?

а) да б)нет

4. Представление о форме сферы дают:

а) футбольный мяч б) апельсин в) коробка

г) башни Кремля д) кружка

5. Представление о форме шара дают:

а) колпак у Буратино б) арбуз в) башни Кремля г) коробка д) кружка

Укажите утверждения, которые являются неверными: