Касательный вектор к кривой. Нормаль к поверхности.
1) Касательный вектор. Рассмотрим кривую L в пространстве, заданную параметрическими уравнениями:
Фиксируем некоторое значение , тем самым фиксируем некоторую точку M на кривой L: Придадим переменной t некоторое приращение , получим точку
Пусть . Тогда из рисунка мы видим, что вектор является касательным вектором к кривой L.
2) Касательная плоскость к поверхности .
Пусть задана поверхность
Пусть точка - произвольная точка на поверхности то есть ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности .
Проведем через точку M кривую L, целиком лежащую на поверхности : .
Строим
Здесь мы ввели вектор - градиент функции
Вектор перпендикулярен касательному вектору ко кривой L в точке M.
Соотношение (
Рассмотрим L - нормаль к поверхности в точке .Вектор является направляющим вектором этой прямой, отсюда выписываем уравнение нормали к поверхности в точке :
или хотя бы одна из частных производных не существует в этой точке, то касательная плоскость в точке не существует.
|
|
Рассмотрим геометрический смысл первого дифференциала. И спользуем результаты, полученные выше.
Рассмотрим функцию двух переменны . Пусть точка принадлежит области определения функции z. Тогда точка лежит на поверхностиФиксируем приращения . Имеем:
точка N лежит на поверхности, точка M лежит на плоскости, касающейся поверхности в точке :
Пусть P касательная плоскость к поверхности в точке
Пусть точка ,где координата удовлетворяет уравнению плоскости P.
Имеем:
Отсюда получаем геометрический смысл первого дифференциала:
первый дифференциал геометрически равен приращению аппликаты точки приращению аппликаты точки касательной плоскости, если переменным
приданы приращения
Если функция z дифференцируема в точке, то верно соотношение (точки K и N имеют совпадающие проекции на плоскость OXY)