2014-02-24
3091
Касательный вектор к кривой. Нормаль к поверхности.
1) Касательный вектор. Рассмотрим кривую L в пространстве, заданную параметрическими уравнениями:
Фиксируем некоторое значение 
, тем самым фиксируем некоторую точку M на кривой L: 
Придадим переменной t некоторое приращение 
, получим точку 
Пусть 
. Тогда из рисунка мы видим, что вектор 
является касательным вектором к кривой L.
2) Касательная плоскость к поверхности 
.
Пусть задана поверхность 
Пусть точка 
- произвольная точка на поверхности 
то есть ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности 
.
Проведем через точку M кривую L, целиком лежащую на поверхности : 
.
Строим 
Здесь мы ввели вектор 
- градиент функции 
Вектор перпендикулярен касательному вектору ко кривой L в точке M.
Соотношение (
Рассмотрим L - нормаль к поверхности в точке 
.Вектор является направляющим вектором этой прямой, отсюда выписываем уравнение нормали к поверхности 
в точке :
или хотя бы одна из частных производных не существует в этой точке, то касательная плоскость в точке не существует.
Рассмотрим геометрический смысл первого дифференциала. И спользуем результаты, полученные выше.
Рассмотрим функцию двух переменны 
. Пусть точка принадлежит области определения функции z. Тогда точка 
лежит на поверхности
Фиксируем приращения 
. Имеем:
точка N лежит на поверхности, точка M лежит на плоскости, касающейся поверхности в точке :
Пусть P касательная плоскость к поверхности в точке 
Пусть точка 
,
где координата 
удовлетворяет уравнению плоскости P.
Имеем:
Отсюда получаем геометрический смысл первого дифференциала:
первый дифференциал 
геометрически равен приращению аппликаты точки приращению аппликаты точки касательной плоскости, если переменным 
приданы приращения 
Если функция z дифференцируема в точке
, то верно соотношение (точки K и N имеют совпадающие проекции на плоскость OXY) 
