2020-05-21
73
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, В3, …, Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
i=1 i=1
Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.
Делала сама проверяйте...
| Х | 0 | 1 | ... | n |
| Р | p | p | ... | p |
∞ ∞
MX = Σ xi pi =p Σ xi т.к р конст, можно вынести за знак суммы
i=1 i=1
а т.к сумма случайных величин от 1 (р*0=0) до n можно представить как арифметическую прогрессию, то
a1=1,an=n, то получим: (1+n)n/2
получим:
1+n
MX = - np
2
Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для дисперсии этой случайной величины.
DX= M(x2)-(M(x)) 2
MX=∑ni=1 x1 p1 = p ∑ni=1 x1
M(x)2 = p (x21 +…x2n)=p∑ni=1 x2i
D(x)= p∑ni=1 x2i – (p∑ni=1 xi)2
Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух случайных величин. Докажите, что для независимых случайных величин его значение равно нулю.
Корреляционным моментом СВ x и h называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. m x h =М((x —М(x))*(h —М(h)))
Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула:m x h =М(x *h)—М(x)*М(h) Доказательство: По определению m x h =М((x —М(x))*(h —М(h))) По свойству мат. ожидания
m x h =М(x h —М(h)—h М(x)+М(x)*М(h))=М(x h)—М(h)*М(x)—М(x)*М(h)+М(x)*М(h)=М(x h)—М(x)*(h)
Предполагая, что x и h независимые СВ, тогда m x h =М(x h)—М(x)*М(h)=М(x)*М(h)—М(x)*М(h)=0; m x h =0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Если m x h не равен 0, то СВ x и h зависимы. Если СВ x и h зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими x и h. При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связи x и h независимой от размерностей СВ x и h, вводится коэффициент корреляции:
Кx h =m x h /s (x)*s (h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x,h) Свойства коэффициента корреляции.
1. -1<=Кx h <=1
Если Кx h =± 1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ.
2. Кx h >0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет.
Кx h <0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.
3. D(x ± h)=D(x)+D(h)± 2m x h
Доказательство.
D(x ± h)=M((x ± h)2)—M2(x ± h)=M(x 2± 2x h +h 2)—(M(x)± M(h))2=M(x 2)± 2M(x h)+M(h 2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)± 2(M(x h))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)± 2m x h
Сформулируйте определение коэффициента корреляции двух случайных величин. Докажите, что его значение не может превышать единицы по абсолютной величине. Докажите, что его значение равно единице по абсолютной величине, если случайные величины связаны линейной зависимостью.
