Сведения о погрешностях измерений

Вследствие ограниченной точности измерительных приборов, неполноты наших знаний, трудности устранения второстепенных явлений в результатах измерений неизбежно возникают погрешности. Причины погрешностей самые различные, но разумно разделить их, а вместе с тем и погрешности, на три обособленных класса: систематические, случайные погрешности и промахи.

Результаты любой экспериментальной работы содержат те или иные погрешности и поэтому, полученные на опыте числовые результаты почти никогда не дают точного значения.

Систематические погрешности – погрешности, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешность прибора), неправильности выбора метода измерений, неправильной установкой прибора и пренебрежением действиями некоторых внешних факторов, как например, температура, давление.

Систематические погрешности вызываются вполне определенными причинами, величина их либо при всех повторных измерениях остается постоянной (например, округление при измерении длины или смещение нуля шкалы прибора и т.д.), либо меняется по определенному закону (неравномерность шкалы, неравномерность сечения капилляра термометра и т.д.). Самый опасный тип систематической погрешности – это погрешность, о существовании которой мы и не подозреваем, хотя она и значительна. Например, наличие пустоты внутри цилиндра при определении его плотности. К этому роду погрешностей относятся так же и погрешности, обусловленные свойствами измеряемого объекта. Например, при измерении поверхности цилиндра, который мы считаем круговым, а на самом деле он имеет овальное сечение, измеряя диаметр один раз и вычисляя площадь, мы получим систематическую ошибку, определяемую степенью эллиптичности и выбранным для измерения диаметров.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Например, ошибка параллакса, ошибки, связанные с сотрясением фундамента здания, приборные погрешности, связанные с трением, люфтом и т.п. Величина случайных погрешностей различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом.

Промахи. Причиной промахов является недостаточная внимательность экспериментатора. Например, при измерении угла он записал 45⁰32′20^″ вместо 35⁰32′20^″, но при повторных наблюдениях он иногда будет обращать внимание только на минуты и секунды, продолжая записывать 45⁰ вместо 35⁰.

Чтобы устранить промахи, нужно либо сместить шкалу прибора, либо повторить измерения спустя некоторое время, когда наблюдатель уже забыл, полученный им результат, либо повторить измерения другим наблюдателем, который не знает результатов, полученных первым. Промахи можно обнаружить, если во время обработки данных выясняется, что один результат резко отличается от других. При этом пользуются следующим правилом: одно наблюдение из пяти (или большего числа) можно отбросить, если его отклонение от среднего не менее чем в 2,5 раза превосходит среднюю абсолютную погрешность по разбросу.

Случайные ошибки

По результатам многократных наблюдений определяются наилучшие значения измеряемой величины, и оценивается погрешность измерения. Если проведено наблюдений величины и получен ряд значений то ошибки и равновероятны, даже, если мы ничего не знаем о природе ошибок.

В этом случае используется правило: при отсутствии информации о причинах наблюдаемого разброса за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять среднее арифметическое измеряемых значений:

(1)

В большинстве случаев является лучшей оценкой истинного значения , чем любое из значений . Это единственное правило, принятое без всяких гипотез о данном конкретном эксперименте. При выполнении гипотезы о том, что эксперимент «проведен хорошо», за ошибку, которую мы можем совершить, принимая для значения порядок величины не больше ширины разброса, будет:

(2)

В простейшей методике обработки измерений величину и принимают в качестве меры точности. Ее называют абсолютной погрешностью по разбросу . Термин «абсолютная» отражает метод усреднения.

Далее можно пропустить, т.е. сильно не вникать в понятие средней квадратичной ошибки.

Помимо средней арифметической ошибки используется и средняя квадратичная ошибка :

(3)

Средняя квадратичная ошибка входит в закон Гаусса:

(4)

где – вероятность появления погрешности величины , , – средняя квадратичная ошибка, величина называется дисперсией измерений; – среднее значение, . Для распределения Гаусса .

Средние ошибки складываются, также складываются и дисперсии независимых слагаемых:

Истинное значение измеряемой величины , полученное в результате измерений при погрешности этой величины , лежит в пределах:

Пусть означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем , тогда:

(5)

Последнее выражение означает, что с вероятностью, равной , результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала – доверительная вероятность или коэффициент надежности. Знание позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Для нахождения случайной ошибки, таким образом, определяются два числа – величина ошибки (погрешности) и доверительная вероятность. Средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68; –0,95; – 0,997. При числе наблюдений , но не меньше, доверительная вероятность интервала равна (75 80)% или выше. При непосредственных измерениях значение интересующей нас величины получается непосредственно из отсчета по прибору. При косвенных измерениях оно вычисляется как функция одной или нескольких вычисляемых величин.

ПРОДОЛЖАЕМ ЧИТАТЬ ДАЛЕЕ

При оценке погрешности непосредственного измерения встречаются следующие возможные ошибки:

1. Ошибки разброса.

2. Ошибки отсчитывания.

3. Инструментальные ошибки (ошибки градуировки).

Ошибки разброса

В них проявляются ошибки наводки, ошибки, связанные с нестабильностью или неопределенностью измеряемой величины, или условий эксперимента и т.п. Единственным способом уменьшения или оценки ошибок разброса являются многократные наблюдения. Вычисляется по формуле (2):

Ошибки отсчитывания

Ошибки отсчитывания оцениваются наблюдателем субъективно. Необходимо, чтобы доверительная вероятность такой оценки была около 80%. Ошибка отсчитывания характеризуется предельной погрешностью отсчитывания. Если цена деления прибора или измерительного инструмента равна , то наблюдатель может указать:

– при округлении до целых делений,

– при отсчете целых делений и половины,

– при отсчете десятых долей деления.

В учебной лаборатории считается обязательным отсчитывать все показания приборов с максимально возможной точностью и указывать достигнутую точность. Эту величину нельзя определить заранее для всех измерений. Ее следует фиксировать при каждом отсчете. В большинстве случаев допускаемая инструментальная погрешность лежит в интервале от до .

Ошибки градуировки

Эти ошибки связаны с неточностью градуировки и не проявляются в разбросе, если измерения выполнены с помощью одних и тех же приборов. Их возможная величина, характеризуемая предельной допускаемой погрешностью градуировки , указывается на шкале прибора или в техническом паспорте прибора. Если этого нет, то она принимается равной цене деления шкалы прибора. Доверительная вероятность больше 80 %. Это гарантировано бюро поверки приборов.

Таким образом, полная погрешность непосредственного измерения складывается из вышеперечисленных составляющих – ошибки отсчитывания , ошибки градуировки , ошибки по разбросу :

(6)

где – общая погрешность или средняя абсолютная погрешность.

Если одна из складываемых величин больше, чем в 3 раза превышает каждую из двух других, то ими можно пренебречь и положить равной этой величине. Доверительная вероятность интервала .