Графо-аналитический (геометрический) метод

1 2 3

Тема 1

Плоская система сходящихся сил

Определение равнодействующей

Задача 1

В точке А приложено две силы (рис. 1.1), модули которых равны

F₁ = 40 Н и F₂ = 80 Н. Определить равнодействующую.

Рис. 1.1. Рис. 1.2.

Аналитический метод решения.

Геометрическое сложение двух векторов показано на рис. 1.2.

Выбираем систему координат х и у.

Определяем проекции равнодействующей заданных сил на оси координат:

Определяем модуль равнодействующей заданных сил:

Определяем направляющие косинусы равнодействующей:

Определяем угол наклона равнодействующей к оси х:

Тогда угол будет равен .

Графо-аналитический метод.

Поскольку задана система двух сил, задачу можно решить с помощью формул тригонометрии.

Модуль равнодействующей определяем по формуле косинусов:

Направление равнодействующей определяем по формуле синусов:

. Учитывая, что , найдем :

и тогда .

Задача 2

Задана плоская система сходящихся сил (рис. 1.3). Модули сил равны следующим значениям: F₁ = 30 H, F₂ = 70 H, F₃ = 60 H, F₄ = 50 H.

Определить равнодействующую этой системы сил и её направление.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Аналитический метод решения.

Перемещаем все силы вдоль их линий действия в точку схода системы − точку А. Вводим систему координат и помещаем начало координат в точку А. Определяем алгебраическую сумму проекций сил на оси координат, которые будут равны проекциям равнодействующей системы на эти оси:

Зная проекции силы на оси можно изобразить показать положение равнодействующей на рисунке (рис. 1.5).

Модуль равнодействующей равен:

Определяем направляющие косинусы равнодействующей:

Угол наклона равнодействующей будет равен

Для проверки можно использовать известное соотношение:

Графический метод решения.

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Графический способ нахождения равнодействующей заданной системы сходящихся сил показан на рис. 1.6.

Условия равновесия

Задача 3

Фонарь весом 80 Н подвешен на кронштейне АВС, укреплённом на вертикальной стене (рис. 2.1). Определить усилия (реакции связей), возникающие в горизонтальном стержне СВ и наклонной тяге АВ после подвески фонаря, если СВ = 1 м и АВ = 1.2 м. Соединения в точках А, В, С кронштейна – шарнирные.

Рис. 1.7

Для решения задачи можно применить три метода:

1) графический метод;

2) графо-аналитический метод;

3) аналитический метод.

Рассмотрим решение данной задачи 2-м и 3-м методом.

Графо-аналитический (геометрический) метод.

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Найдем сторону АС треугольника АВС с помощью теоремы Пифагора:

На узел В действуют три силы, линии действия которых пересекаются в этой точке. Чтобы они находились в равновесии, силовой треугольник должен быть замкнут.

Построение силового треугольника начинают с заданной силы . Через начало вектора проведем линию параллельную стержню (направление действия силы ), а через конец вектора − линию параллельную стержню (направление действия силы ).

Расставляем направление векторов таким образом, чтобы треугольник оказался замкнутым. Видим, что стержень оказался растянутым, а стержень − сжатым (рис. 1.8 и 1.9).

Полученный треугольник , подобен треугольнику .

Используя свойство подобия треугольников, получаем

Из полученных пропорций, находим усилия в стержнях кронштейна:

Аналитический метод.

Используем принцип освобождаемости, т.е. отбрасываем связи кронштейна и действие их заменяем реакциями (рис.).

Используем общепринятое соглашение: будем считать, что стержни АВ и СВ растянуты.

Принцип освобождаемости применительно к данной задаче называют ещё методом вырезания узлов.

Рис. 6.

Запишем условия равновесия сил, приложенных к узлу :

Выбираем систему координат, помещая начало координат в точку В.

Угол наклона реакции обозначим через α (рис. 6).

Из треугольника АВС (рис. 4) находим

Проектируя силы системы на оси получим следуюшие уравнения:

Из второго уравнения системы получим:

Тогда из второго уравнения равновесия находим

Подставляя полученное значение силы в первое уравнение равновесия, получим

Знак «минус» в данном случае говорит о том, сто стержень СВ сжат.

Задача 4

Рис. 11. Рис. 12.

Задача №1 из расчетно-графичесчкой работы.

Тема: Равновесие плоской системы сходящихся сил.

Дано: ; трение отсутствует; размеры блока не учитываются.

Определить реакции связей и .

Аналитическое решение.

1. Освобождаем узел С от связей, и предполагая стержни растянутыми, заменяем их неизвестными силами и .

2. Выбираем систему координат Сху.

3. Записываем условие равновесия узла С.

4. Решаем систему уравнений:

Знак «минус» говорит о том, что реакция на самом деле направлена в другую сторону, то есть 2-й стержень сжат.

Проверяем решение графоаналитическим (геометрическим) способом.

1. Выбираем масштаб и строим многоугольник сил, начиная с известных сил и .

2. По правилу параллелограмма складываем силы и , заменяя их равнодействующей .

(Рис. 1)

3. Определяем углы треугольника АВС.

(Рис. 2)

4. Определяем реакции и , пользуясь теоремой синусов.

откуда

Погрешности составляют:

Ответ: Реакции стержней равны: (стержень растянут), (стержень сжат).

Тема 2

Применение теоремы о равновесии трех сил

Задача 1

К конструкции (рис. 1), закрепленной в точках А и В на тросе, закрепленном в точке С, подвешен груз весом Р. Определить направления и модули опорных реакций, пользуясь теоремой о трех силах

Рис.1

Решение

Линии действия сил и пересекаются в точке . По теореме о трех силах линии действия силы также пройдет через точку .

Условием равновесия сил , и является замкнутость силового треугольника. Строим силовой треугольник , замыкая который получаем направления реакций связей (рис. 2)

Рис. 2.

Из подобия треугольников и следует равенство отношений:

Если учесть, что , то из полученных пропорций можно получить, что

Отвег: , .

Задача 2

Горизонтальная балка закреплена в точке А с помощью неподвижного шарнира, а в точке В удерживается наклонным тросом (рис. 1). В точке С к балке приложена вертикальная сила , равная по модулю 10 кН. Определить направления и модули реакций связей, пользуясь теоремой о трех силах

Рис.3.

Решение

Линии действия сил и пересекаются в точке . Для равновесия трех сил линия действия силы тоже должна пройти через точку (рис.4).

Рис.4.

Условием равновесия сил , и является замкнутость силового треугольника. Строим силовой треугольник, замыкая который получаем направления реакций связей и (рис. 5).

Рис.5.

Длина опорного стержня равна .

Тогда и следовательно .

Длина отрезка равна

Тогда и следовательно .

Найдем внутренние углы силового треугольника и их синусы:

, ,

Находим неизвестные стороны силового треугольника, используя теорему синусов:

, откуда ,

, откуда .

Ответ: Реакции связей равны: и .

Задачи 3 и 4

Рис.6.

Рис.7.

Рис.8.

Тема 3

Равновесие произвольной плоской системы сил

Задача 1

Дано: , , , , .

Определить реакции опор А и В.

Рис. 5.

Решение

1. Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.

2. Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.

3. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей

16кН.

4. Составляем уравнения равновесия.

Рис. 6.

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.

6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.

Проверка выполняется с удовлетворительной точностью.

Ответ: Реакции равны

Задача 2

Дано:

Определить реакции опор в жесткой заделке.

Рис. 1

Решение

2. Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.

2. Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.

3. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей

4. Составляем уравнения равновесия.

Рис. 2

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.

6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.

Проверка выполняется с удовлетворительной точностью.

Ответ: Реакции равны

Задача 3

Дано:

Определить реакции связей.

Рис. 7.

Решение

2. Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.

3. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей

4. Составляем уравнения равновесия.

5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции, учитывая, что .

Рис. 8.

6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки D.

Проверка выполняется.

Ответ: Реакции равны:

Тема 4

Равновесие плоской системы параллельных сил

Задача 1

Определить реакции опор А и В для следующей балки.

Рис.3.

Отбросив связи и заменив их действие неизвестными реакциями обнаружим, что задача содержит две неизвестные реакции: , .

Рис.4.

Решение.

Наклонную реакцию представим в виде суммы ее вертикальной и горизонтальной составляющих: = + .

Наклонную силу также представим в виде суммы: = + .

Модули составляющих сил равны: , .

Используем систему уравнений равновесия (1)

Решая систему, получаем значения неизвестных сил:

Задача 2

Определить реакции опор А и В.

Рис.5.

Решение.

Из уравнения следует, что горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна нулю, поэтому используем систему уравнений равновесия (3):

Решая систему, получаем значения неизвестных реакций:

Задача 3

Определить реакции опор А и В.

Рис. 6.

Решение.

При определении реакций следует при любом удобном случае использовать симметрию системы.

Заметим, что горизонтальная реакция на опоре А отсутствует.

Видно, что все силы приложенные к балке расположены симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через точку С,

По этой причине .

Формально этот результат можно получить из уравнения .

Обе реакции теперь можно обозначить одной буквой − и для их определения использовать единственное уравнение .

Формируем уравнение: , откуда получаем, что .

Задача 4

Определить реакции опор А и В.

Рис.7.

Решение.

Используем систему уравнений равновесия (3)

Решая систему, получаем значения неизвестных реакций:

Знак «минус» в выражении реакции говорит о том, что ее истинное направление противоположно тому, которое показано на рисунке.

Задача 5

Определить реакции в заделке А.

Рис.8.

Решение.

Наклонную реакцию представим в виде суммы ее вертикальной и горизонтальной составляющих: = + . Наклонную силу также представим в виде векторной суммы: двух сил и .