Поскольку точные значения параметров распределения признака в генеральной совокупности в большинстве случаев определить не представляется возможным, то эти параметры следует оценить, используя соответствующие параметры выборки.
Числовые характеристики выборки называются выборочными (эмпирическим) характеристиками.
Основные числовые характеристики:
- среднее арифметическое (выборочное среднее)
; (1.19а)
при дискретной группировке
; (1.19б)
при интервальной группировке
, (1.19в)
где - частота, K - количество интервалов, - середина i -го интервала.
- выборочная (эмпирическая) дисперсия
(1.20а)
при дискретной группировке
; (1.20б)
при интервальной группировке
. (1.20в)
- выборочные начальные и центральные моменты порядка l
|
|
(1.21а)
при дискретной группировке
; (1.21б)
при интервальной группировке
. (1.21в)
- коэффициент вариации
(1.22)
- оценка коэффициента асимметрии A (характеризует симметричность распределения относительно среднего )
(1.23)
при интервальной группировке
(1.24)
- оценка эксцесса E (меры островершинности распределения по сравнению с нормальным распределением)
(1.25)
при интервальной группировке
. (1.26)
Если , то вершина более острая, а если , то более плоская, чем у нормального распределения. У нормального распределения .
- выборочная мода
При дискретной группировке (вариационный ряд) мода определяется как значение варианты с наибольшей частотой.
При интервальной группировке выбирается интервал, которому соответствует наибольшая частота. Пусть это k -й интервал , его частота равна , а ширина h, тогда
. (1.27)
- выборочная медиана
Если выборка объема n представлена вариационным рядом, то
1.28)
При интервальной группировке сначала находят так называемый медианный интервал , номер s которого определяется из неравенств
(1.29)
|
|
где - сумма частот всех интервалов левее медианного, - сумма частот, включающая частоту медианного интервала.
Медиану оценивают с помощью следующей интерполяционной формулы
, (1.30)
где - частота медианного интервала.
Таким образом, в качестве точечной оценки параметров распределения признака в генеральной совокупности может приниматься соответствующие параметры выборки. Например, для параметров генеральной совокупности и (нормальное распределение) можно доказать следующее.
1. является несмещенной точечной оценкой , т.е.
. (1.31)
2. Оценка для генеральной дисперсии является состоятельной, но несмещенной. Поэтому вводят величину
,
которая называется исправленной статистической выборочной дисперсией. Эта величина является несмещенной оценкой генеральной дисперсии , т.е.
. (1.32)
Величина называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением и является несмещенной точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения , т.е.
. (1.33)