Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:

Рассмотрим функцию . Эта функция положительна всюду, кроме точки , где она обращается в нуль. В пространстве переменных уравнение определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое . Построим на плоскости круг радиуса . Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга . Построим другой круг целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).

Пусть начальная точка лежит внутри .

Рассмотрим функцию двух переменных . Легко видеть, что если вместо подставить решение системы, то полученная таким образом, функция от будет представлять собой полную производную функции вдоль траектории решения системы. Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть , так как иначе между и значением , при котором она попадет на границу , найдется значение , для которого , поскольку . То, что ни одна траектория, начинающаяся в , не покидает ни при одном круг , означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция была неположительной как функция двух независимых переменных по крайней мере в некоторой окрестности . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку всюду на плоскости , а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки , где она обращается в нуль, а выражение было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы.

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой -окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности задается неравенством , . Функция (или короче ) называется положительно определенной в , если в , причем тогда и только тогда, когда .