Метод деления переменных

Рассмотрим систему

                  

 

где  при  --- постоянные,  могут быть функциями координат, параметров и времени.

Определенно положительная функция

 

 

имеет производную в силу системы в следующем виде:

 

 

где

 

 

Таким образом,  будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

 

 

Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.

В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя

 

 

Здесь ,  --- постоянные,  --- возмущение рабочего угла,  --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

В данном случае получаем

 

 

а в качестве матрицы  берем единичную матрицу. Таким образом, получим

 

Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе  и матрицы .

 

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

 

                                   

 

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица  подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

 

                       

 

удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы

Таким образом, получим  и .

В качестве примера рассмотрим уравнение

 

 

эквивалентное системе

 

Функцию Ляпунова выбираем в виде

 

 

Легко видеть, что

 

 

Очевидно, следует принять  и , тогда будем иметь

 

 

и условие устойчивости в целом принимает вид  при любых .

 

Метод Уокера-Кларка

Рассмотрим уравнение

 

           

 

эквивалентное системе

 

Функцию Ляпунова для системы предлагается брать в виде

 

                                                     

 

где  специально подбирается с целью упрощения вида  и с целью выполнения неравенства .

Так, например, для системы

 

функцию  будем искать в виде

 

Имеем в силу системы

 

 

где

 

Очевидно, проще всего положить , , , откуда

 

 

 

и получаем функцию

 

                                                    

 

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

 

             

 

эквивалентное системе

 

                       

Согласно предложенному способу следует принять

 

 

Имеем тогда

 

Если положить , то условия устойчивости будут иметь вид

 

 и .

 

Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции

 

.

 

Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо,

 

 

В данном случае получим

 

 

и условия устойчивости в целом принимают вид

 

а)  при ,

б)  при ,

в) при .

 

Градиентный метод

Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме

 

где

 

 

Функции  подбираются из условия отрицательности  и из требования, чтобы векторное поле  было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент  сама функция  определяется как криволинейный интеграл

 

  

 

В качестве примера рассмотрим уравнение

                        

 

где . Это уравнение эквивалентно системе

 

 

Будем искать вектор-градиент  в форме

 

 

В силу системы получим

 

Удобно положить , , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула дает нам

 

 

или, что то же самое,

 

Так как , то условия устойчивости имеют вид  и