Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Выделим некоторое решение системы и назовем его невозмущенным решением.
Решение назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого можно указать такое, что из неравенства следует неравенство при . Здесь через обозначено любое другое решение системы, определяемое начальным условием . Решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое , что при будем иметь
Пример Решение уравнения не является устойчивым ни справа, ни слева, т.к. каждое решение , где (), перестает существовать при (рис. 1).
Пример. Решение уравнения неустойчиво справа, т.к. все решения , , , приближаются к при . Каждое решение так же, как и решение , является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).
Проведем в системе замену переменных . Новая система будет иметь вид
|
|
вводя обозначение
получим систему
где при . Решение перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия новой системы. Задача устойчивости решения переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого (тривиального) решения системы.
Приведем определение устойчивости нулевого решения системы.
Решение системы называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого можно указать такое, что из неравенства следует неравенство при . Если же, кроме того, всякое решение , начальные данные которого определяются условием , обладает свойством , то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.