2020-05-21
96
Пусть ряды 
и 
являются положительными. Если для всех номеров 
выполняется неравенство 
, то ряд назовем меньшим рядом, а ряд 
– большим.
Теорема 5.1. Пусть ряды 
и 
являются положительными, и выполняется неравенство 
. Тогда:
1) из сходимости большего ряда вытекает сходимость меньшего ряда;
2) из расходимости меньшего ряда вытекает расходимость большего ряда.
Замечание. Утверждение теоремы 5.1 остается верным, если неравенство 
выполняется не для всех номеров 
, а начиная с некоторого номера 
, то есть при всех 
.
Второй признак сравнения
Пусть ряды и являются положительными. В первом признаке сравнения требуется, чтобы один из рядов был большим, а другой меньшим. В следующем признаке это условие не требуется. Вместо этого требуется вычисление предела отношения общих членов этих рядов.
Теорема 6.1. Пусть ряды и являются положительными, и существует предел отношения их общих членов
.
Тогда, если выполняется двойное неравенство 
, то:
1) из сходимости одного из рядов вытекает сходимость другого;
2) из расходимости одного из рядов вытекает расходимость другого.
Признак Даламбера
Теорема 7.1. Пусть ряд является положительным и существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера этих членов, то есть
.
Тогда, если:
1) 
, то ряд сходится;
2) 
, то ряд расходится.
Замечание. При 
признак Даламбера на вопрос о том, что сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место, как сходимость, так и расходимость.
Радикальный признак Коши
Теорема 8.1. Пусть ряд 
является положительным и существует предел корня 
-й степени из -го члена при неограниченном возрастании номера , то есть
.
Тогда, если:
1) 
, то ряд сходится;
2) 
, то ряд расходится.
Замечание. При 
радикальный признак Коши на вопрос о том, что сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место, как сходимость, так и расходимость.
