Интегральный признак Коши

 

Теорема 9.1. Пусть ряд   является положительным, члены которого образуют монотонно убывающую (не возрастающую) последовательность

,

а функция  определена на промежутке , и на этом промежутке непрерывна, монотонно убывающая (не возрастающая) и

.

Тогда:

1) из сходимости несобственного интеграла  вытекает сходимость данного ряда;

2) из расходимости несобственного интеграла  вытекает расходимость данного ряда.

Замечание. Если в записи ряда номер  начинается не с , а с некоторого номера , то и функция  должна удовлетворять условии теоремы 9.1 на промежутке , и следует рассматривать несобственный интеграл на этом промежутке: .

В качестве примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд .

Положим . Эта функция определена, непрерывна и монотонно убывает на промежутке , то есть удовлетворяет всем условиям
теоремы 9.1. Поэтому сходимость данного ряда равносильна сходимости несобственного интеграла . Имеем

.

Если , то

;

если , то , и, следовательно,

;

если , то , и, следовательно,

.

Таким образом, имеем

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при  и расходится при .

 

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

 

Ряд называется знакочередующимся, если за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным – положительный:

или

,

где

.

Теорема 10.1. (Признак Лейбница) Пусть:

1) предел общего члена знакочередующегося ряда равен нулю,
то есть ;

2) абсолютные величины его членов монотонно убывают (не возрастают), то есть .