Закон распределения скоростей по сечению круглой трубы

Потери напора, скорость, расход при ламинарном движении. Формула Пуазейля

Формула Вейсбаха-Дарси.

Начальный участок ламинарного течения

Ламинарное течение в зазоре

Ламинарное течение в зазоре. Случай подвижных стенок.

Ламинарное течение в зазоре. Случай концентрических зазоров.

Потери напора, скорость и расход при ламинарном движении жидкости.

Формула Пуазейля.

При перемещении  слоёв вязкой жидкости возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоёв. Действие этих сил проявляется в разности скоростей  слоёв (рис.1а).

Трение при движении вязкой жидкости было открыто Ньютоном. Он обнаружил пропорциональность между силой внутреннего трения, площадью соприкасающихся слоев и относительной скоростью перемещения.

Рис. 1 Сдвиг слоёв реальной жидкости и возникновение деформации сдвига.

Разделим поток жидкости, движущийся при ламинарном режиме в трубе круглого сечения, на  кольцевые концентрические слои (рис.1а) толщиной δn. Скорость слоев уменьшается от оси  к стенкам из-за трения. Разность скоростей в соседних слоях равна δu. На поверхности соприкасающихся слоёв возникают силы внутреннего трения.

Элементарный объем (рис.1б) из-за различия скоростей верхнего и нижнего слоя деформируется, скорость сдвига слоя  

где dθ/dt – скорость деформации сдвига

Закон внутреннего трения, открытый Ньютоном

  (1)

где μ – коэффициент динамической вязкости, δu/δn – градиент скорости.

В зависимости от направления отсчёта от стенки или от оси градиент скорости  может быть положительным или отрицательным.

При ламинарном режиме движения слои жидкости скользят один по другому не перемешиваясь. В жидкости преобладают силы вязкости, поэтому  силы инерции и силы тяжести  при выводах, связанных с ламинарным движением могут не учитываться, а учитываются силы трения и силы давления жидкости.

Для определения характеристик потока при ламинарном движении в прямой круглой  трубе, расположенной горизонтально, с внутренним диаметром равным d = 2r_о, выделяют цилиндрический объем длиной   l  между сечениями "1-1" и "2-2", радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях.

В сечении "1 – 1" давление равно Р_1,  а в сечении "2 – 2" равно    Р₂.  При одном и том же внутреннем  диаметре трубы  средняя скорость жидкости будет постоянной V₁=V₂  ,  коэффициент Кориолиса α не будет изменяться вдоль потока.

Рис.2.Ламинарное движение жидкости в круглой трубе.

 

Уравнение Бернулли для выбранных сечений "1-1" и "2-2

 .

При z₁=z₂, V₁=V₂      можно записать    

где h_тр = Р_тр /(ρg), — потеря напора на трение по длине, эту величину показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

Равновесие выделенного объёма рассматривается под действием сил давления и сил трения в слоях окружающей жидкости.

По поверхности цилиндра действуют касательные напряжения τ. При  малой длине цилиндра, можно считать, что напряжения равномерно распределены по поверхности цилиндра, поэтому уравнение равновесия цилиндра приобретает вид

(Р₁ - Р₂)πr²-2πrlτ = 0, Р_тр *πr²=2πrlτ,          

откуда .   (2),

где Ртр =(Р₁-Р₂)– перепад давлений на основаниях цилиндра.

Касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются линейному закону в функции радиуса. Эпюры касательного напряжения показаны на рис. 2 в начале трубы. На стенке трубы касательное напряжение максимально на оси равно нулю.

Выразим касательное напряжение τ  через динамическую  вязкость и градиент скорости

Подставляя τ  из уравнения (2), получим 

     

Дифференциал скорости:           

Выполнив интегрирование, получим мгновенную скорость в любой точке

  

При  r = r₀,V = 0 (рис.2)          . Используя С, получаем

закон распределения скоростей по сечению круглой трубы