2020-05-25
149
Пусть функции f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности точки 
и 
. Если 
или 
, т.е. частное представляет собой в точке 
неопределенность вида 
или 
, то при условии, что предел отношения производных (конечный или бесконечный) существует 
.
Если частное 
в точке 
также неопределенность вида 
или 
и производные 
и 
удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных.
В случае неопределенности вида 
или 
следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или 
и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
Правило Лопиталя
Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:
. Эта формула справедлива также при 
Замечание. Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми. Хотя правило работает только с неопределенностями 
и 
, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести эти изучаемые неопределенности к указанным ранее типам.
|
|
|
Пример 1. 
Пример 2. Вычислим предел по правилам Лопиталя,:
2.8 Исследование функций и построение их графиков
