Если C — постоянная, то dC = 0, т.е. дифференциал постоянной равен нулю.
Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых:
.
Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала: .
Дифференциал произведения .
Дифференциал частного .
Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, что имел бы
в том случае, если бы вспомогательная функция была независимой переменной, т.е.
, , .
2.4.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке .
Абсолютная погрешность при такой замене равна и при
D x ® 0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем D x. Приращенное значение вычисляют по формуле .
Производные и дифференциалы высших порядков
2.5.1 Производная n -го порядка
Производная функции сама является некоторой функцией аргумента x. Производная от производной называется производной второго порядка от функции f (x). Производная n - го порядка является производной от (n – 1)-го порядка, т.е. .
|
|
Обозначаются производные высших порядков, начиная со второй, следующим образом: , ,.., или , , …, , или , …, .
Если описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени , а вторая производная равна изменению скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.
2.5.2 Дифференциалы высших порядков
Дифференциал функции первого порядка является функцией двух переменных: аргумента и его дифференциала . Если производная дифференцируема в некоторой точке х, тогда можно рассматривать в как постоянный множитель, а как функцию только аргумента х. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом второго порядка:
; .
Дифференциал n -го порядка определяется формулой .
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма
Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .
Геометрический смысл теоремы Ферма. Если в точке дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке касательная к графику функции параллельна оси OХ (рис. 4.3).