График функции называется выпуклым (вверх)на интервале (a, b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 5.1).
График функции называется выпуклым (вниз) на интервале (a, b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 5.2).
Рис. 5.1 | Рис. 5.2 |
Правило. Если на интервале (a, b), то график функции выпуклый на этом интервале; если же , то на интервале (a, b) график функции — вогнутый.
Точка графика функции, отделяющая выпуклую его часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 5.3).
Если x 0 — абсцисса точки перегиба графика функции , вторая производная или не существует. Точки, в которых и не сущест-
вует, называются критическими точками II рода.
|
Если же и имеют одинаковые знаки, то точка кривой с абсциссой не является точкой перегиба.
Асимптоты
Прямая L называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние точки M с координатами (x, y), лежащей на кривой, от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат.
Прямая является вертикальной асимптотой кривой , если или .
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует конечный предел или .
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f (x), если существуют конечные пределы:
или .