Теорема Ролля (о корнях производной)

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале . Если , то найдется по крайней мере одна точка , в которой .

Геометрический смысл теоремы Ролля. График функции имеет в точке (c, f (c)) касательную, параллельную оси OХ (см. рис. 4.3).Между двумя нулями многочлена находится, по крайней мере, один нуль производной этого многочлена .

Теорема Лагранжа (о конечном приращении).

Если функция задана и непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдется по крайней мере одна точка , в которой .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. К графику функции можно провести по крайней мере одну касательную, параллельную секущей, проходящей через точки и – рис. 4.4. Если для всех , то


Рис. 4.3	Рис. 4.4

Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале и пусть для всех . Тогда существует, по крайней мере, одна точка , в которой . Эта формула называется формулой Коши (или обобщенной формулой конечных приращений)

2.6.3 Решение типовых примеров.

1) Найти производную функции .

Решение

2) Найти производную параметрически заданной функции: .

Решение: Найдем производные от функций по переменной :

Тогда производная данной функции равна:

3) Найти производную неявно заданной функции

Решение:

И окончательно получаем .

4) Найти производную : .

Логарифмическим дифференцированием называют прием дифференцирования, при котором производная от заданной функции отыскивается с помощью производной от её логарифма. Это значит, что если дана функция , то для нахождения её производной сначала логарифмируют эту функцию , а затем дифференцируют полученное равенство : ,откуда .При логарифмическом дифференцировании удобно применять свойства логарифмов: