Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция называется однородной p-го измерения относительно и , если для любого выполняется равенство

. (8)

Из определения следует, что функция является однородной функцией измерения 2, так как

В частности, если , то называют однородной функцией нулевого измерения. Для таких функций соотношение (8) принимает вид

. (9)

Например, функция является однородной функцией нулевого измерения, так как

Дифференциальное уравнение первого порядка вида называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения.

Доказано, что однородная функция нулевого измерения зависит не от двух переменных и , а только от их отношения . Поэтому однородные дифференциальные уравнения решают с помощью подстановки

где — новая неизвестная функция. Относительно дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Уравнение является однородным, так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения (см. пример выше). Сделаем подстановку:

, , ,тогда ; ; .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для этого заменим на : ; ; .

Интегрируя, получаем , .

Вернемся к искомой функции . Так как , имеем ; — общее решение дифференциального уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть приведено к виду

, (10)

где — заданные функции переменной . Уравнение (10) линейно относительно и .Решение линейного уравнения 1-го порядка находят в виде произведения двух функций

(11)

где , — неизвестные дифференцируемые функции.

После замены (11) решение уравнения (10) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными вида (5):

(12)

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение линейно относительно и . Приведем его к виду (10). Для этого разделим правую и левую части на : .

Здесь , . Введем замену (11) :

или .

Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем первое уравнение системы (12), остальные члены равенства образуют второе уравнение. При этом каждое уравнение является уравнением 1-го порядка вида (5), т. е. с разделяющимися переменными.

(*)