Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

,           (18)

где ,  — постоянные, а  — функция специального вида. Из теории известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) имеет вид

,               (19)

где  — общее решение неоднородного уравнения (18);

 — общее решение однородного уравнения , соответствующего уравнению (18), когда ;

 — частное решение неоднородного уравнения (18).

Укажем вид частного решения  уравнения (18), если  имеет специальный вид

,       (20)

где a, b — вещественные числа; ,  — многочлены соответственно степеней  и .

Замечание. Многочлены нулевой, первой и второй степени имеют вид:

; ;   и т. д.

Составим контрольное число .

1. Если число  не является корнем характеристического уравнения, т. е.

, (21)

где  и  — многочлены степени  с неизвестными коэффициентами.

2. Если число  есть корень характеристического уравнения кратности 1, т. е. совпадает только с одним из корней характеристического уравнения

, . (22)

3. Если число  есть корень характеристического уравнения кратности 2, т. е.

. (23)