Шаговый (рекуррентный) метод

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

Этот метод удобно применять в том случае, когда схема представляет собой большое число повторяющихся структурных элементов. Шаговый метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй − в третьем и т.д., т.е. число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов. Задачи подобного типа встречаются довольно часто.

Задача 1. Найти сопротивление цепи, изображенной на рисунке.

Решение.

Перечертим схему в более удобном для расчетов и наглядном виде (рис.).

Теперь очевидно, что цепь представляет собой несколько «вложенных» друг в друга групп резисторов, соединенных параллельно.
Начнем пошаговое вычисление эквивалентных сопротивлений, начиная с самых «внутренних» элементов. Заменив резисторы R₄, R₅, R₆ резистором

получим новую схему (рис.).

Поступая аналогично с резисторами R₂, R₃ и R^/, получим в результате простую схему (рис.),

где R^// определяется выражением:

Эквивалентное сопротивление всей цепи равно

Решение задач подобного типа значительно облегчается, если некоторые группы резисторов имеют одинаковые значения сопротивлений. Рассмотрим, например, следующую задачу.

Задача 2. Найти сопротивление цепи АВ, изображенной на рисунке.

Решение.
Рассчитывать эквивалентное сопротивление начнем слева. Два параллельно соединенных резистора, сопротивления которых одинаковы и равны 2R каждый, можно заменить резистором эквивалентным сопротивлением R. Этот резистор соединен последовательно с резистором того же сопротивления R. Заменим и эти два резистора одним, имеющим эквивалентное сопротивление 2R. Опять получим два резистора одинакового сопротивления 2R, соединенных параллельно. И их можно заменить резистором эквивалентным сопротивлением R и т.д. В результате получим, что эквивалентное сопротивление всей цепи АВ равно R.

Метод преобразования

Хотя этот метод не дает конкретного алгоритма решения задач, но облегчает подход к нему. Преобразования основаны на простом принципе: точки равного потенциала можно соединять в один узел. Рассмотрим классический пример.

Задача 1. Найти сопротивление цепи АВ, изображенной на рисунке.

Решение.

Так как сопротивления подводящих проводов равны нулю, то точки АА^/ и ВВ^/ попарно равнопотенциальны. Соединяя эти точки, получим простую схему из трех параллельных резисторов (рис.),

сопротивление которой

Рассмотрим более сложную задачу того же типа.

Задача 2. Найти сопротивление цепи, изображенной на рисунке, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R.

Решение.
Пронумеруем все узловые точки этой цепи − их всего шесть. Потенциалы точек 1 и 3 одинаковы, поэтому объединим эти точки в одну. То же самое сделаем с парами точек 2 и 5, 4 и 6. Получившаяся в результате цепь дана на рис.