2020-05-25
278
1 Среднее арифметическое (М)
2 Среднее гармоническое (Мгар)
3 Среднее геометрическое (Мг)
4 Среднее квадратическое (Мкв)
5 Среднее кубическое (Мкуб)
Для того чтобы получить достаточно обоснованное представление о генеральной совокупности на основании выборки, необходимо использовать наиболее характерные параметры признака. К ним относятся показатели среднего положения: непараметрические, т. е. менее точные (мода, медиана) и параметрические, т. е. более точные (средние величины: арифметическое, гармоническое, квадратическое, кубическое, геометрическое). Средняя величина выражает характерную, типичную для данного ряда величину признака и является равнодействующей всех факторов, влияющих на признак. В ней погашаются индивидуальные различия вариант в ряду, обусловленные случайными обстоятельствами.
Рассмотрим параметрические показатели.
1 Среднее арифметическое (М) представляет собой величину, сумма положительных и отрицательных отклонений от которой равна нулю. Оно является основной характеристикой статистической совокупности. Для невзвешенного вариационного ряда среднее арифметическое вычисляется по формуле
М 
(2.1)
где Σx – сумма всех вариант совокупности.
Среднее арифметическое выборки характеризует среднее арифметическое генеральной совокупности, абсолютная и точная величина которого нам неизвестна. Для точности определения выборочных параметров необходимо установить величину ошибок репрезентативности. Ошибку среднего арифметического выборки обозначают индексом mм. Если mм=0, величина выборочной совокупности равна величине генеральной совокупности. Ошибка среднего арифметического выборки рассчитывается по формуле:
(2.2)
где σ – среднее квадратическое отклонение
Пригодность среднего арифметического выборки для характеристики среднего арифметического генеральной совокупности определяется путем установления достоверности. Достоверность характеризует реализуемость некоторого события, подтверждая его осуществимость высокими значениями уровней вероятности (Р = 0,95; 0,99). Достоверность среднего арифметического оценивают по критерию Стьюдента:
(2.3)
Пример. Определено следующее количество осадков, выпавших в пяти пунктах наблюдений:25, 35, 40, 45 и 55мм (N=5). Определить среднее количество осадков.
Решение:
2 Среднее гармоническое (Mгар) используется при усреднении меняющихся скоростей протекания природных процессов и показателей обратно пропорциональной зависимости между природными процессами или явлениями. Среднее гармоническое для невзвешенного вариационного ряда определяется по формуле:
(2.4)
Пример. При измерении скорости ветра в течение суток были получены следующие результаты: 5,7,4,3,6,8, 9 м/с. Вычислить общий средний показатель скорости.
Решение: 
.
Если среднюю скорость воды в реке рассчитывать по среднему арифметическому, то ее величина составит 6 м/с. Различие считается существенным в тех случаях, когда необходима высокая точность.
3 Среднее геометрическое(Мг) необходимо для расчета в случаях, когда требуется определить средние темпы прироста (например, сельскохозяйственной продукции или вегетативной массы деревьев за вегетационный период и т. д.). Этот показатель дает более точное представление о приросте по сравнению со средним арифметическим и рассчитывается по формуле:
(2.6)
Пример. Увеличение прироста зеленой массы клевера за май-август составило 20 и 25 ц/га. Найти средний прирост.
= 22,4 ц/га.
При наличии нулевого показателя вместо среднего геометрического вычисляется приближенное среднее арифметическое.
4 Среднее квадратическое (Мкв) используется, когда необходима проверка результатов эксперимента на единство суммарного действия (например, требуется определить средний радиус или диаметр исследуемого объекта). Для невзвешенного ряда используется формула:
(2.7)
Пример. Имеются данные по величине радиусов трех спилов дуба: 20, 24, 32, 28, 22 см. В данном случае вместо среднего арифметического при расчетах следует использовать среднее квадратическое:
= 
= 25,56 ≈ 26 см
5 Среднее кубическое (Мкуб) применяется в тех же случаях, что и среднее квадратическое, т. е. При проверке на единство суммарного действия (например, при нахождении объема), и определяется по формуле:
Мкуб = 
(2.8)
Пример. Кубатура древесины по семи ключевым участкам составила 5, 7, 9, 13, 16, 19 и 20 м3. Среднее кубическое равно
Мкуб = 
= 
= 14,5 м3
Эта величина существенно отличается от среднего арифметического.
По абсолютной величине рассмотренные выше средние значения располагаются в следующем порядке: Мгар<=Мг<=М<=Мкв<=Мкуб. Степень различия между средними зависит от величины коэффициента вариации рассматриваемой совокупности: чем больше коэффициент вариации, тем сильнее различаются по величине показатели среднего положения.
