2020-05-25
317
1 Среднее квадратическое отклонение (δ)
2 Средний квадрат отклонений или дисперсия (δ2)
3 Коэффициент вариации (V)
В каждой совокупности варианты отклоняются от среднего значения. Поэтому для изучаемой статистической выборки недостаточно определить лишь среднее значение, необходимы показатели, характеризующие степень разнообразия совокупности. К показателям разнообразия признаков относятся максимальная и минимальная величины в вариационном ряду (лимит), амплитуда варьирования, среднее квадратическое отклонение, квадрат отклонений от среднего, коэффициент вариации. Эти показатели признаков характеризуют различную степень и особенности разброса. Рассмотрим более подробно среднее квадратическое отклонение, квадрат отклонений от среднего и коэффициент вариации.
1 Среднее квадратическое отклонение (δ) показывает степень рассеяния значений статистической совокупности около среднего значения. Среднее квадратическое отклонение определяется для невзвешенного ряда по формуле
|
|
|
(3.1)
для взвешенного – по формуле
(3.2)
где xi – индивидуальная варианта совокупности;
(xi – M) – отклонение от среднего индивидуальных вариант;
(хi - M)2f – сумма произведений квадратов отклонений вариант от среднего на соответствующие частоты.
Ошибка среднего квадратического отклонения определяется по формуле:
(3.3)
Точность вычисления ошибок среднего квадратического отклонения и среднего арифметического можно проверить приближенно при помощи соотношения:
(3.4)
Напомним, что ошибка среднего арифметического вычисляется по формуле:
(3.5)
Пример. Определено количество осадков 20, 30, 40, 35, 50 мм. Определить точность измерения.
Решение:
1) Сначала вычисляем среднее арифметическое
2) Для получения исходных данных составляется таблица 1
Таблица 1 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения
| xi | (xi - M) | (xi - M)2 |
| 20 | -15 (20 - 35) | 225 (-15)2 |
| 30 | - 5 | 25 |
| 40 | 5 | 25 |
| 35 | 0 | 0 |
| 50 | 15 | 225 |
| Σ = 500 |
3) Находим среднее квадратическое отклонение
4) Находим ошибку среднего арифметического
5) Находим ошибку среднего квадратического отклонения
6) Подставляя вычисленные данные находим точность измерений
Если соотношение окажется близким к 0,7, то полученные результаты вычислений следует считать репрезентативными. В противном случае необходимо проверить расчет. При получении тех же результатов приходим к выводу, что изучаемое явление не соответствует закону нормального распределения и его оценку следует проводить с использованием непараметрических показателей.
|
|
|
2 Средний квадрат отклонений или дисперсия (δ2) – показатель, характеризующий степень рассеяния значений переменных около среднего значения. Средний квадрат отклонений можно вычислить путем возведения в квадрат показателя среднего квадратического отклонения или определить по формуле
(3.6)
Средний квадрат отклонений выражается в тех же единицах, что и соответствующие показатели среднего положения. Форма записи исходных данных для расчета σ2 такая же, как и для σ (см. таблицу 1).
Вычислим дисперсию для тех же значений, что были представлены выше:
Исходя из величины дисперсии, можно определить интервал, в пределы которого входят все варианты выборки:
(3.7)
Для нашего примера интервал будет представлен следующими пределами:
При объединении нескольких аналогичных выборок в общую выборочную совокупность можно рассчитать общий средний квадрат отклонений, если имеются сведения о дисперсии по каждой выборке в отдельности:
(3.8)
где σ2i – дисперсия индивидуальной выборки; k – число частных выборок
Пример. Вычислим общий средний квадрат отклонений для четырех выборок, отражающих содержание кальция в озерных водах Белоруссии: σ21= 2, N1=4; σ22= 3, N2= 6; σ32=4,0, N3= 5;σ24= 6,0N4= 6.
Подставляя данные в формулу, имеем:
По величине общей средней дисперсии легко определить общее значение среднего квадратического отклонения: 
3 Коэффициент вариации (V) представляет собой относительный показатель разнообразия признаков. Он показывает отношение величины среднего квадратического отклонения к величине среднего арифметического и выражается в процентах. Для числовых величин с одинаковым знаком коэффициент вариации вычисляется по формуле:
(3.9)
Если в статистической совокупности имеются показатели с положительным и отрицательным знаком (например, температуры воздуха), то коэффициент вариации рекомендуется вычислять по формуле:
(3.10)
где \хi\ – числовое выражение наименьшей отрицательной варианты (без минуса)
Приведем алгоритм вычисления коэффициента вариации для относительных и абсолютных величин.
Пример 1. Известны показатели изменения температуры в течение нескольких десятилетий. Определить коэффициент вариации.
t0= –30 0C; –45 0C; 30 0C; 20 0C; –35 0C;
Решение:
1) Сначала вычисляем среднее арифметическое
2) Для получения исходных данных составляется таблица 1
Таблица 1 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения
| xi | (xi –M) | (xi – M)2 |
| -30 | -32 | 1024 |
| -45 | - 47 | 2209 |
| 30 | 28 | 784 |
| 20 | 18 | 324 |
| 35 | 33 | 1089 |
| Σ = 5430 |
3) Находим среднее квадратическое отклонение
4) Находим коэффициент вариации
– варьирование очень высокое.
Пример 2. Известны показатели изменения температуры в течение нескольких десятилетий. Определить коэффициент вариации.
t0= 20 0C; 10 0C; 15 0C; 25 0C; 30 0C;
1) Сначала вычисляем среднее арифметическое
2) Для получения исходных данных составляется таблица 1
Таблица 2 - Форма записи и расчета среднего квадратического отклонения
| xi | (xi – M) | (xi – M)2 |
| 20 | 0 | 0 |
| 10 | -10 | 100 |
| 15 | -5 | 25 |
| 25 | 5 | 25 |
| 30 | 10 | 100 |
| Σ = 250 |
3) Находим среднее квадратическое отклонение
4) Находим коэффициент вариации
По размаху варьирования признака выделяется 5 групп коэффициента вариации. Если изменение признака находится в пределах величины коэффициента вариации 0–10 %, то такое варьирование считается малым, при 10–30 – средним, 30–60 – высоким, 60–100 – очень высоким, при более 100 % – аномальным.
|
|
|
