Срез и сдвиг – в чем отличие?

Срез - это непосредственное разрушение материала стержня, происходящее в результате деформации сдвига.

Под сдвигом понимается, угловая деформация или вид напряженного состояния – чистый сдвиг.

При проверке прочности соединений предпочтительнее говорить: «расчет на срез». Если речь о напряженном состоянии, то правильнее говорить: «напряженное состояние при сдвиге».

Геометрические характеристики плоских сечений:

Прочность и жесткость стержня при растяжении (сжатии) определяются площадью поперечного сечения F (больше площадь поперечного сечения - меньше напряжение и удлинение стержня):

В условии прочности при сдвиге снова встречаемся с площадью поперечного сечения (F): .

Однако при других видах деформации, площадь поперечного сечения не является геометрической характеристикой, исчерпывающе определяющей способность сопротивляться внешней нагрузке. Например, одна и та же обычная линейка по-разному сопротивляется изгибу в разных плоскостях.

Поэтому в разделе геометрические характеристики плоских сечений изучим некоторые геометрические характеристики поперечного сечения стержня, определяющие способность сопротивляться деформациям, отличным от растяжения/сжатия и сдвига, отвлекаясь от физических свойств материала.

Статический момент инерции относительно оси

Рассмотрим поперечное сечение стержня площадью F. Проведем через произвольную точку О оси координат x и y. Выделим элемент площади с координатами x и y (рис. 4.1).

Введем понятие статического момента инерции относительно оси - величину, равную произведению элемента площади () на расстояние (обозначено буквой y) до оси x:

Аналогично статический момент инерции относительно оси y равен:

Просуммировав такие произведения по площади F, получим статический момент инерции всей фигуры относительно осей x и y:

Статический момент инерции фигуры относительно оси измеряется в единицах длины в кубе (см3), и может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Пусть – координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментом силы, можно записать следующие выражения:

Таким образом, моментом (статическим моментом) площади фигуры относительно оси называется произведение площади на расстояние от ее центра тяжести до оси.

Осевой, полярный и центробежный моменты инерции фигуры

Осевой момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y:

Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса:

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то , и формула полярного момента инерции равна сумме осевых моментов инерции относительно осей x и y:

Из формул осевых и полярного моментов инерции видно: значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, так как координаты и расстояние возведены в квадрат.

Центробежный момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см4).

Понятие момента инерции поперечного сечения ввел в 1834 г. французский ученый Н. Перси.

Главные центральные и главные оси

Главные оси имеют важное практическое применение. Каким свойством обладают главные оси?

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, а также равным нулю в зависимости от положения координатных осей. Рассмотрим квадрат (рис. 4.2, а).

Центробежный момент инерции квадрата () относительно осей положителен, поскольку координаты всех элементов площади положительны. При повороте осей вокруг начала координат на угол 900 (рис. 4.2 б) знак центробежного момента инерции становится отрицательным, так как в этом случае координаты x всех элементарных площадей положительны, а координаты y – отрицательны.

Можно найти положение двух взаимно перпендикулярных осей, при котором . Такие оси называются главными осями. Главные оси для квадрата изображены на (рис. 4.2, в).