Очень часто цель эксперимента заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле. Так, например, пройденный путь при равноускоренном движении без начальной скорости описывается формулой (известна зависимость S от t, требуется определить a); зависимость сопротивления чистого полупроводника от температуры вычисляется по формуле (известна зависимость R от Т, требуется определить ширину запрещённой зоны и параметр А). Обе приведенные зависимости являются нелинейными, но, если в первом случае строить график S от , а во втором ln R от , то оба графика будут представлять из себя прямые линии. Тангенс угла наклона прямой к оси равен в первом случае и – во втором, вторая прямая пересекает ось ln R в точке ln A.
Однако, из-за наличия погрешностей измерения, а в некоторых случаях из-за статического характера исследуемых зависимостей экспериментальные точки не ложатся на теоретическую прямую(см. рисунок 1).
Возникает следующая задача: по экспериментальным точкам провести прямую наилучшим образом, т.е. проходящую по возможности ближе ко всем точкам. В случае числа экспериментальных точек количественным критерием является сумма квадратов отклонений «теоретических» от «экспериментальных» ; точек (квадраты берутся для того, чтобы избежать взаимной компенсации положительных и отрицательных отклонений). Метод, использующий этот критерий, носит название метода наименьших квадратов.
|
|
Пусть имеется набор n экспериментальных точек
Теоретическая зависимость имеет вид:
. (22)
Тогда упомянутая сумма определяется выражением
. (23)
Коэффициенты и находятся из условия, чтобы была минимальна. Необходимые условия минимума дают систему уравнений:
(24)
или
. (25)
Решение системы (25) дает следующие формулы для определения и :
. (26)
После того как коэффициенты a и b найдены, зависимость может быть использована как градуировочная для нахождения неизвестного значения по графику в точке . Погрешность определяется как погрешность (если – экспериментальная величина) так и погрешностями проведения графика:
(27)
|
|
Здесь находится обычными методами, а погрешности и определяются следующими формулами:
, (28)
. (29)
В заключение приведем формулу метода наименьших квадратов в случае более простой теоретической зависимости:
(30)
, (31)