Обработка графической информации (метод наименьших квадратов)

Очень часто цель эксперимента заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле. Так, например, пройденный путь при равноускоренном движении без начальной скорости описывается формулой  (известна зависимость S от t, требуется определить a); зависимость сопротивления чистого полупроводника от температуры вычисляется по формуле (известна зависимость R от Т, требуется определить ширину запрещённой зоны  и параметр А). Обе приведенные зависимости являются нелинейными, но, если в первом случае строить график S от , а во втором ln R от , то оба графика будут представлять из себя прямые линии. Тангенс угла наклона прямой к оси  равен  в первом случае и  – во втором, вторая прямая пересекает ось ln R в точке ln A.

Однако, из-за наличия погрешностей измерения, а в некоторых случаях из-за статического характера исследуемых зависимостей экспериментальные точки не ложатся на теоретическую прямую(см. рисунок 1).

Возникает следующая задача: по экспериментальным точкам провести прямую наилучшим образом, т.е. проходящую по возможности ближе ко всем точкам. В случае числа экспериментальных точек  количественным критерием является сумма квадратов отклонений «теоретических» от «экспериментальных» ; точек (квадраты берутся для того, чтобы избежать взаимной компенсации положительных и отрицательных отклонений). Метод, использующий этот критерий, носит название метода наименьших квадратов.

Пусть имеется набор n экспериментальных точек
Теоретическая зависимость имеет вид:

                                                  .                                                                (22)

Тогда упомянутая сумма определяется выражением

                                           .                                                   (23)

Коэффициенты  и  находятся из условия, чтобы  была минимальна. Необходимые условия минимума дают систему уравнений:

                                                                            (24)

или

                                       .                                           (25)

Решение системы (25) дает следующие формулы для определения  и :

                                                 .                                    (26)

После того как коэффициенты a и b найдены, зависимость  может быть использована как градуировочная для нахождения неизвестного значения  по графику в точке . Погрешность  определяется как погрешность  (если  – экспериментальная величина) так и погрешностями проведения графика:

                                                                       (27)

Здесь  находится обычными методами, а погрешности  и  определяются следующими формулами:

,                             (28)

       .                                   (29)

В заключение приведем формулу метода наименьших квадратов в случае более простой теоретической зависимости:

                                                                                                                   (30)

                      ,                            (31)